3東北大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

$g(x)=8x^{3}-6x^{2}+2$（$|x|\leqq1$）、$h(x)=3x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$（$|x|>1$）とおく。$f$ は $x=\pm1$ で微分可能なので、$h$ と $g$ は $x=\pm1$ で値と導関数が一致する。
$$g(1)=4,\quad g(-1)=-12,\quad g'(1)=12,\quad g'(-1)=36.$$
$$h(1)=4,\quad h(-1)=-12,\quad h'(1)=12,\quad h'(-1)=36.$$
したがって、次の連立方程式を得る。
$$\begin{cases} a+b+c+d=1,\\ -a+b-c+d=-15,\\ 3a+2b+c=0,\\ 3a-2b+c=48. \end{cases}$$
これを解くと $(a,b,c,d)=(8,-12,0,5)$ である。

(2)

$h(x)=3x^{4}+8x^{3}-12x^{2}+5$、$h'(x)=12x(x^{2}+2x-2)$ である。
$g'(x)=12x(2x-1)$ なので、$-1\leqq x\leqq1$ での $g$ の値は $g(-1)=-12$、$g(0)=2$、$g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$、$g(1)=4$ である。よって $-1\leqq x\leqq1$ での最小値は $-12$ である。

$|x|>1$ では、$h'(x)=0$ となるのは $x=0$、$-1\pm\sqrt{3}$ である。$x<-1$ では、$x<-1-\sqrt{3}$ で $h'(x)<0$、$-1-\sqrt{3}<x<-1$ で $h'(x)>0$ である。$x>1$ では $h'(x)>0$ である。

$r=-1-\sqrt{3}$ とおくと $r^{2}=-2r+2$、$r^{3}=6r-4$、$r^{4}=-16r+12$ であるから
$$h(r)=3r^{4}+8r^{3}-12r^{2}+5=24r-15=-39-24\sqrt{3}<-12.$$
ここで $h(-1)=-12$、$h(1)=4$ である。したがって $f$ の最小値は $-39-24\sqrt{3}$ で、そのときの $x$ の値は $x=-1-\sqrt{3}$ である。