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東北大学／2023年度

5東北大学 2023年 数学 第5問解答・解説

ベクトル

1問題

東北大学2023年度第5問
四面体 OABC において、a⃗=OA→,b⃗=OB→,c⃗=OC→\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{OC}} とおき、次が成り立つとする。

∠AOB=60∘,∣a→∣=2,∣b→∣=3,∣c→∣=6,b→⋅c→=3 \angle \mathrm{AOB} = 60^{\circ}, \quad | \overrightarrow {a} | = 2, \quad | \overrightarrow {b} | = 3, \quad | \overrightarrow {c} | = \sqrt {6}, \quad \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {c} = 3

ただし b⃗⋅c⃗\vec{b} \cdot \vec{c} は、2つのベクトル b⃗\vec{b} と c⃗\vec{c} の内積を表す。さらに、線分 OC と線分 AB は垂直であるとする。点 C から 3 点 O, A, B を含む平面に下ろした垂線を CH とし、点 O から 3 点 A, B, C を含む平面に下ろした垂線を OK とする。

(1) a→⋅b→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} と c→⋅a→\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} を求めよ。

(2) ベクトル OH→\overrightarrow{OH} を a→\overrightarrow{a} と b→\overrightarrow{b} を用いて表せ。

(3) ベクトル c→\overrightarrow{c} とベクトル HK→\overrightarrow{HK} は平行であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)a→⋅b→=3,c→⋅a→=3.(2)OH→=23a→+19b→.(3)HK→=29c→,HK→/ ⁣/c→.\begin{aligned}(1)&\quad \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=3,\qquad \overrightarrow c\cdot\overrightarrow a=3.\\(2)&\quad \overrightarrow{OH}=\frac23\overrightarrow a+\frac19\overrightarrow b.\\(3)&\quad \overrightarrow{HK}=\frac29\overrightarrow c,\quad \overrightarrow{HK}/\!/\overrightarrow c.\end{aligned}\]

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) ∠AOB=60∘\angle AOB=60^\circ および ∣a∣=2, ∣b∣=3|a|=2,\ |b|=3 より
a→⋅b→=∣a∣∣b∣cos⁡60∘=3. \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=|a||b|\cos60^\circ=3.
また OC⊥ABOC\perp AB なので c→⋅(b→−a→)=0\overrightarrow c\cdot(\overrightarrow b-\overrightarrow a)=0。したがって
c→⋅a→=c→⋅b→=3. \overrightarrow c\cdot\overrightarrow a =\overrightarrow c\cdot\overrightarrow b=3.
(2) h⃗=OH→\vec{h}=\overrightarrow{OH} とおく。HH は CC の平面 OABOAB への垂線の足なので、h⃗\vec{h} は a→,b→\overrightarrow a,\overrightarrow b の一次結合であり、
h⃗⋅a→=c→⋅a→=3,h⃗⋅b→=c→⋅b→=3. \vec{h}\cdot\overrightarrow a=\overrightarrow c\cdot\overrightarrow a=3,\qquad \vec{h}\cdot\overrightarrow b=\overrightarrow c\cdot\overrightarrow b=3.
h⃗=sa→+tb→\vec{h}=s\overrightarrow a+t\overrightarrow b とおけば
4s+3t=3,3s+9t=3, 4s+3t=3,\qquad 3s+9t=3,
ゆえに s=23, t=19s=\frac23,\ t=\frac19。したがって
OH→=23a→+19b→.(1) \overrightarrow{OH}=\frac23\overrightarrow a+\frac19\overrightarrow b. \tag{1}
(3) h⃗\vec{h} を上のベクトルとし、m⃗=h⃗+29c→\vec{m}=\vec{h}+\frac29\overrightarrow c とおく。まず
h⃗⋅a→=h⃗⋅b→=3,h⃗⋅c→=23(a→⋅c→)+19(b→⋅c→)=73. \vec{h}\cdot\overrightarrow a=\vec{h}\cdot\overrightarrow b=3,\qquad \vec{h}\cdot\overrightarrow c =\frac23(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow c) +\frac19(\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c) =\frac73.
よって
m⃗⋅(b→−a→)=0, \vec{m}\cdot(\overrightarrow b-\overrightarrow a)=0,
また
m⃗⋅(c→−a→)=(73−3)+29(6−3)=0. \vec{m}\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow a) =\left(\frac73-3\right)+\frac29(6-3)=0.
したがって m⃗\vec{m} は平面 ABCABC に垂直である。さらに q=m⃗⋅a→q=\vec{m}\cdot\overrightarrow a とおくと
q=3+29⋅3=113. q=3+\frac29\cdot3=\frac{11}{3}.
垂直性から m⃗⋅a→=m⃗⋅b→=m⃗⋅c→=q\vec{m}\cdot\overrightarrow a=\vec{m}\cdot\overrightarrow b=\vec{m}\cdot\overrightarrow c=q であり、
m⃗⋅h⃗=23q+19q=79q,∣m⃗∣2=m⃗⋅(h⃗+29c→)=q=m⃗⋅a→. \vec{m}\cdot\vec{h} =\frac23q+\frac19q=\frac79q,\qquad |\vec{m}|^2 =\vec{m}\cdot\left(\vec{h}+\frac29\overrightarrow c\right)=q =\vec{m}\cdot\overrightarrow a.
このため位置ベクトル m⃗\vec{m} の終点は平面 ABCABC 上にあり、OK→=m⃗\overrightarrow{OK}=\vec{m}。ゆえに
HK→=OK→−OH→=m⃗−h⃗=29c→, \overrightarrow{HK} =\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OH} =\vec{m}-\vec{h} =\frac29\overrightarrow c,
したがって HK→\overrightarrow{HK} と c→\overrightarrow c は平行である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 位置ベクトル
  • ベクトルの内積
  • ベクトルによる図形の考察

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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