2山形大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) 与えられた条件から $|\vec a|=|\vec c|=1$、$|\vec b|=2$、$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=1$ である。よって
$$AB^2=|\vec b-\vec a|^2=|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b=4+1-2=3,$$
$$BC^2=|\vec c-\vec b|^2=|\vec c|^2+|\vec b|^2-2\vec b\cdot\vec c=1+4-2=3.$$
したがって $AB=BC=\sqrt3$。

(2) 角 $ABC$ をはさむベクトルは $\vec a-\vec b$ と $\vec c-\vec b$ である。$\vec a\cdot\vec c=x$ とおくと
$$\frac23=\cos\angle ABC =\frac{(\vec a-\vec b)\cdot(\vec c-\vec b)}{AB\cdot BC} =\frac{x-1-1+4}{3} =\frac{x+2}{3}.$$
よって $\vec a\cdot\vec c=x=0$。

(3) 条件 $\vec p\cdot\vec a=\vec p\cdot\vec c=0$ を使うと
$$\vec p\cdot\vec a=s-1=0,\qquad \vec p\cdot\vec c=t-1=0,$$
したがって $s=t=1$ である。このとき
$$|\vec p|^2=|\vec a-\vec b+\vec c|^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2 -2\vec a\cdot\vec b+2\vec a\cdot\vec c-2\vec b\cdot\vec c =1+4+1-2+0-2=2,$$
ゆえに $|\vec p|=\sqrt2$。

(4) (2) より $OA\perp OC$、また $OA=OC=1$ なので、底面 $OAC$ の面積は $1/2$ である。(3) の $\vec p=\vec a-\vec b+\vec c$ は $\vec a,\vec c$ の両方に垂直であり、底面の平面 $OAC$ の法線方向を向く。さらに
$$\vec b=\vec a+\vec c-\vec p$$
と表せるので、点 $B$ から平面 $OAC$ までの高さは $|\vec p|=\sqrt2$ である。したがって
$$V_{OABC}=\frac13\cdot\frac12\cdot\sqrt2=\frac{\sqrt2}{6}.$$