1大分大学 2023年 数学 第1問解答・解説

$\overrightarrow{PQ}=(2,1,2)$ とおくと、$\overrightarrow{OQ}=(1,2,-2)$ であり、$\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{PQ}=2+2-4=0$、$|\overrightarrow{OQ}|^2=9$、$|\overrightarrow{PQ}|^2=9$ である。したがって、$Q$ は原点 $O$ から直線 $\ell$ への垂線の足である。直線 $\ell$ 上の点 $X$ を $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+t\overrightarrow{PQ}$ と表すと、$\overrightarrow{OQ}\perp\overrightarrow{PQ}$ より、
$$|\overrightarrow{OX}|^2=9+9t^2$$
となる。

(1) 球面 $S_r$ との交点は $9+9t^2=r^2$ を満たすので、これが異なる2つの実数 $t$ をもつ条件は $r^2>9$ である。半径 $r$ は正だから、求める条件は $r>3$ である。

(2) 交点 $A,B$ に対応する値を $t,-t$ とおくと、$9+9t^2=r^2$、すなわち $9t^2=r^2-9$ である。よって
$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OQ}+t\overrightarrow{PQ},\qquad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OQ}-t\overrightarrow{PQ}$$
であり、
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OQ}|^2-t^2|\overrightarrow{PQ}|^2=9-9t^2=18-r^2.$$

(3) 線分 $AB$ は直線 $\ell$ 上にあり、その長さは $|2t\overrightarrow{PQ}|=6|t|=2\sqrt{r^2-9}$ である。$O$ から $AB$ を含む直線への距離は $OQ=3$ だから、三角形 $OAB$ の面積は
$$\frac12\cdot2\sqrt{r^2-9}\cdot3=3\sqrt{r^2-9}$$
である。