2東北大学 2023年 数学 第2問解答・解説

和を積に直すと $f(x)=4\sin x\cos^{2}x$ となり、正の解は $\dfrac{\pi}{2}$ の正の整数倍とわかる。個数 $p(m)$ を不等式ではさみ、はさみうちの原理を使う。

(1)

和を積に直す公式より
$$f(x)=\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x=4\sin x\cos^{2}x.$$
よって $f(x)=0$ は $\sin x=0$ または $\cos x=0$ と同じである。正の解は、$\sin x=0$ から $x=\pi,\,2\pi,\,3\pi,\,\cdots$、$\cos x=0$ から $x=\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{2},\,\dfrac{5\pi}{2},\,\cdots$ で、合わせると
$$x=\dfrac{k\pi}{2}\quad(k=1,\,2,\,3,\,\cdots)$$
である。最小のものは $x=\dfrac{\pi}{2}$ である。

(2)

$\dfrac{k\pi}{2}\leqq m$ すなわち $k\leqq\dfrac{2m}{\pi}$ を満たす正の整数 $k$ の個数が $p(m)$ だから、
$$\dfrac{2m}{\pi}-1<p(m)\leqq\dfrac{2m}{\pi}.$$
各辺を $m$ で割ると
$$\dfrac{2}{\pi}-\dfrac{1}{m}<\dfrac{p(m)}{m}\leqq\dfrac{2}{\pi}.$$
$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(\dfrac{2}{\pi}-\dfrac{1}{m}\right)=\dfrac{2}{\pi}$ だから、はさみうちの原理により
$$\lim_{m\to\infty}\dfrac{p(m)}{m}=\dfrac{2}{\pi}.$$