白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

東北大学／2023年度

3東北大学 2023年 数学 第3問解答・解説

数列

1問題

東北大学2023年度第3問
s を実数とし、数列 {an}\{a_{n}\} を

a1=s,(n+2)an+1=nan+2(n=1,2,3,⋯ ) a _ {1} = s, \quad (n+2)a_{n+1}=na_{n}+2 \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) ana_{n} を n と s を用いて表せ。

(2) ある正の整数 m に対して ∑n=1man=0\displaystyle \sum_{n=1}^{m} a_{n} = 0 が成り立つとする。s を m を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    an=1+2(s−1)n(n+1)a_{n}=1+\dfrac{2(s-1)}{n(n+1)}
  • (2)
    s=1−m2s=\dfrac{1-m}{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

漸化式の定数解1を引いて積の形に直して一般項を求め、部分分数分解した和で項を消去して条件式を解く。

解答

(1)

an+1−1=nn+2(an−1)a_{n+1}-1=\dfrac{n}{n+2}(a_n-1) である（(n+2)an+1=nan+2(n+2)a_{n+1}=na_n+2 から）。これを k=1, 2, ⋯ , n−1k=1,\,2,\,\cdots,\,n-1 について掛け合わせると、
an−1=(s−1)1⋅2⋯(n−1)3⋅4⋯(n+1)=(s−1)(n−1)!(n+1)!/2=2(s−1)n(n+1). a_n-1=(s-1)\dfrac{1\cdot2\cdots(n-1)}{3\cdot4\cdots(n+1)}=(s-1)\dfrac{(n-1)!}{(n+1)!/2}=\dfrac{2(s-1)}{n(n+1)}.
よって
an=1+2(s−1)n(n+1). a_n=1+\dfrac{2(s-1)}{n(n+1)}.

(2)

∑n=1man=m+2(s−1)∑n=1m(1n−1n+1)=m+2(s−1)mm+1=m(m+2s−1)m+1. \displaystyle\sum_{n=1}^{m}a_n=m+2(s-1)\displaystyle\sum_{n=1}^{m}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=m+2(s-1)\dfrac{m}{m+1}=\dfrac{m(m+2s-1)}{m+1}.
mm は正の整数で ∑n=1man=0\displaystyle\sum_{n=1}^{m}a_n=0 なので、m+2s−1=0m+2s-1=0。よって s=1−m2s=\dfrac{1-m}{2}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 漸化式
  • 総和記号と数列の和
  • 階差・和の利用

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

東北大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

同じ年度の次の問題第4問へ進むいろいろな式・平面上の曲線と複素数平面

東北大学のほかの年度

2026202520242022

似た問題を、ほかの大学で