6東北大学 2023年 数学 第6問解答・解説

接線は導関数を傾きに等置する。面積は $U=y-x$ の面積保存変換を使い、横断面長を場合分けして定積分する。

(1)

$$f'(x)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{24}{(6x+1)^{2}}.$$
$f'(x)=1$ となる必要十分条件は $(6x+1)^{2}=16$ である。$x>0$ より $x=\dfrac{1}{2}$。$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{4}$ なので、接線は
$$y+\dfrac{5}{4}=x-\dfrac{1}{2},\quad\text{すなわち}\quad y=x-\dfrac{7}{4}.$$

(2)

$0\leqq t\leqq2$、$0\leqq s\leqq1$ とおくと、線分上の点は
$$(x,\,y)=(t+s,\,f(t)+s)$$
である。ここで $X=x$、$U=y-x$ とおけば、$t\leqq X\leqq t+1$、
$$U=g(t):=f(t)-t=-\dfrac{3}{2}t-\dfrac{4}{6t+1}$$
である。固定した $X$ では、$U=Y-X$ は縦断面を上下に平行移動するだけで長さを変えない。したがって、縦断面の長さを $X$ で積分した面積も変わらない。
$$g'(t)=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{24}{(6t+1)^{2}}.$$
よって $g$ は $0\leqq t\leqq\dfrac{1}{2}$ で増加、$\dfrac{1}{2}\leqq t\leqq2$ で減少し、
$$g(0)=-4,\qquad g\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{7}{4},\qquad g(2)=-\dfrac{43}{13}$$
である。二枝の値が一致する $g(t)=g(t+1)$ は $(6t+1)(6t+7)=16$ より $t=\dfrac{1}{6}$ となり、対応する高さは $g\left(\dfrac{1}{6}\right)=-\dfrac{9}{4}$ である。
これにより、$(X,U)$ 平面の高さ $U$ における横断面長 $L(U)$ は
$$L(U)=\begin{cases} 1,&-4\leqq U<-\dfrac{43}{13},\\ 2,&-\dfrac{43}{13}\leqq U<-\dfrac{9}{4},\\ 1+t_{2}(U)-t_{1}(U),&-\dfrac{9}{4}\leqq U\leqq-\dfrac{7}{4} \end{cases}$$
となる。ここで $t_{1}$、$t_{2}$ はそれぞれ $g$ の増加枝・減少枝の逆関数である。この記述が概形を定め、元の座標には $y=X+U$ で戻す。

面積 $S$ は
$$\begin{aligned} S&=\displaystyle\int_{-4}^{-43/13}1\,dU+2\displaystyle\int_{-43/13}^{-9/4}1\,dU+\displaystyle\int_{-9/4}^{-7/4}\left(1+t_{2}(U)-t_{1}(U)\right)dU,\\ \displaystyle\int_{-9/4}^{-7/4}(t_{2}-t_{1})\,dU&=\displaystyle\int_{7/6}^{1/2}t\,g'(t)\,dt-\displaystyle\int_{1/6}^{1/2}t\,g'(t)\,dt=-\displaystyle\int_{1/6}^{7/6}t\,g'(t)\,dt. \end{aligned}$$$$S={\int }_{-4}^{-43/13}1dU+2{\int }_{-43/13}^{-9/4}1dU+{\int }_{-9/4}^{-7/4}\left(1+t_2(U)-t_1(U)\right)dU,$$$${\int }_{-9/4}^{-7/4}(t_2-t_1)dU={\int }_{7/6}^{1/2}t{g}^{\prime }(t)dt-{\int }_{1/6}^{1/2}t{g}^{\prime }(t)dt=-{\int }_{1/6}^{7/6}t{g}^{\prime }(t)dt.$$
ここで
$$\displaystyle\int t\,g'(t)\,dt=-\dfrac{3}{4}t^{2}+\dfrac{2}{3}\log(6t+1)+\dfrac{2}{3(6t+1)}$$
である。よって上の差は $\dfrac{5}{4}-\dfrac{4}{3}\log2$ であり、
$$S=\dfrac{9}{13}+\dfrac{55}{26}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{4}-\dfrac{4}{3}\log2=\dfrac{237}{52}-\dfrac{4}{3}\log2.$$