II福岡大学 2023年 数学 第II問解答・解説

(i) 三次方程式
左辺を因数分解すると
$$8x^3-8x^2+1=(2x-1)(4x^2-2x-1).$$
二次方程式の解の公式も用いれば、空欄(1)は
$$\boxed{x=\frac{1-\sqrt5}{4},\quad\frac12,\quad \frac{1+\sqrt5}{4}}$$
である。

(i) 対数不等式
対数の定義域は $x>0$, $x\ne1$ である。
$t=\log_2x\ne0$, $L=|\log_2|x-1||$ とおく。
底の変換から $\log_x2=1/t$, $\log_x8=3/t$ なので、不等式は
$$\frac{L}{t}+\frac{3}{|t|}-2\geqq0 \tag{*}$$
となる。

$0<x<1$ では $t<0$ かつ $L=-\log_2(1-x)$ である。
正数 $-t$ を $(*)$ に掛けると
$$3-L+2t\geqq0 \ \quad\text{すなわち}\quad\ 3+\log_2(1-x)+2\log_2x\geqq0 \ \quad\text{すなわち}\quad\ 8x^2(1-x)\geqq1.$$
これは $8x^3-8x^2+1\leqq0$ と同値である。上記の因数分解と
$(1-\sqrt5)/4<0<1/2<(1+\sqrt5)/4<1$ より、この範囲での解は
$$\frac12\leqq x\leqq\frac{1+\sqrt5}{4}. \tag{A}$$

$1<x<2$ では $t>0$ かつ $L=-\log_2(x-1)$ である。
$(*)$ は
$$3-\log_2(x-1)-2\log_2x\geqq0 \ \quad\text{すなわち}\quad\ x^2(x-1)\leqq8$$
となる。$1<x<2$ では $x^2(x-1)<4<8$ なので全域が解である。
$x\geqq2$ では $L=\log_2(x-1)$ であり、$(*)$ は
$$8(x-1)\geqq x^2 \ \quad\text{すなわち}\quad\ x^2-8x+8\leqq0.$$
二次式の根 $4\pm2\sqrt2$ のうち小さい方は2未満だから、
$x\geqq2$ との共通範囲は $2\leqq x\leqq4+2\sqrt2$。
これと $(A)$ を合わせると、空欄(2)は
$$\boxed{\frac12\leqq x\leqq\frac{1+\sqrt5}{4}\quad\text{または}\quad1<x\leqq4+2\sqrt2}.$$
$x=1$ は定義域外なので含めない。

(ii) 対称点
$$\overrightarrow{AB}=(-1,-4,-3),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,1,1)$$
は平行ではない。平面の法線ベクトル $n=(a,b,c)$ はこれらと垂直なので
$$-a-4b-3c=0,\qquad a+b+c=0.$$
これを解くと $3b+2c=0$, $a=-b-c$ となる。
$b=2$, $c=-3$ と取れば $a=1$ であるから、
$$n=(1,2,-3),\qquad \alpha:\ x+2y-3z=7$$
を得る。後者は点 $A$ を通り、上の法線に垂直な平面の式である。

$D=(0,6,-3)$ を通り $n$ に平行な直線上の点を $D-\lambda n$ と書く。
その点が $\alpha$ 上にある条件は
$$(1,2,-3)\cdot(D-\lambda n)=21-14\lambda=7$$
である。よって $\lambda=1$ で、垂線の足は
$H=D-n=(-1,4,0)$。線分 $DE$ の中点が $H$ となる点は
$$\boxed{E=2H-D=(-2,2,3)}.$$
実際、$E-D=(-2,-4,6)=-2n$ で $DE\perp\alpha$、
また中点 $H$ は $-1+2\cdot4-3\cdot0=7$ を満たす。

(ii) 距離和の最小化
平面式の左辺は $D$ で21、$F=(1,1,1)$ で0だから、
線分 $DF$ は平面を横切る。線分上の点を
$$X(s)=D+s(F-D)=(s,6-5s,-3+4s),\qquad 0\leqq s\leqq1$$
と書く。これを平面式に代入すると $21-21s=7$、すなわち
$s=2/3$。従って唯一の交点は
$$\boxed{P=\left(\frac23,\frac83,-\frac13\right)}.$$
任意の $\alpha$ 上の点 $Q$ について三角不等式から
$DQ+QF\geqq DF$。上の $P$ は線分 $DF$ 上にあるので
$DP+PF=DF$ と等号を満たす。等号が成り立つ点は線分 $DF$ 上に限られ、
平面との交点も上の $P$ だけだから、これは唯一の最小点である。

$F-D=(1,-5,4)$ より $DF=\sqrt{42}$、
$DP=(2/3)\sqrt{42}$、$PF=(1/3)\sqrt{42}$ であり、
確かに $DP+PF=DF$ である。

$$\boxed{\begin{aligned} (1)&:\ \frac{1-\sqrt5}{4},\ \frac12,\ \frac{1+\sqrt5}{4},\\ (2)&:\ \frac12\leqq x\leqq\frac{1+\sqrt5}{4}\ \text{または}\ 1<x\leqq4+2\sqrt2,\\ (3)&:\ (-2,2,3),\\ (4)&:\ \left(\frac23,\frac83,-\frac13\right). \end{aligned}}$$