2京都府立医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)では直線方向と法線方向へのベクトル分解を用いる。(2)では弦ベクトルを媒介変数差で割った極限が微分ベクトルになることから比の極限を評価し、二つの導関数が同時に0にならないという条件の下で接線方向と法線ベクトルとの直交条件を同値にする。

(1) $P,H$ はともに $l$ 上にあり、$\vec n$ は $l$ に垂直だから
$$\vec n\cdot\overrightarrow{PH}=0.$$
また、ベクトルのつなぎ方から
$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HQ}=\overrightarrow{PH}-\overrightarrow{QH}$$
である。したがって
$$\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}=-\vec n\cdot\overrightarrow{QH}.$$
$\overrightarrow{QH}$ は $l$ に垂直で、$\vec n$ と平行である。$\lvert\vec n\rvert=1$ より、ある実数 $a$ を用いて $\overrightarrow{QH}=a\vec n$ と書ける（$H=Q$ の場合は $a=0$）。このとき
$$\lvert\overrightarrow{QH}\rvert=|a|,\qquad \lvert\vec n\cdot\overrightarrow{QH}\rvert=|a\,\vec n\cdot\vec n|=|a|$$
だから
$$\boxed{\lvert\overrightarrow{QH}\rvert=\lvert\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}\rvert}.$$

(2) $\vec v=(f'(t_0),g'(t_0))$ とおく。仮定から $\vec v\ne\vec 0$ である。$t\ne t_0$ のとき $Q\ne P$ なので、$\overrightarrow{PQ}$ は零ベクトルでない。微分係数の定義により
$$\frac{\overrightarrow{PQ}}{t-t_0} =\left(\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0},\frac{g(t)-g(t_0)}{t-t_0}\right) \longrightarrow (f'(t_0),g'(t_0))=\vec v\qquad(t\to t_0).$$
(1) を用い、$t\ne t_0$ に対して分子・分母を $|t-t_0|$ で割ると
$$\frac{\lvert\overrightarrow{QH}\rvert}{\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert} =\frac{\lvert\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}\rvert}{\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert} =\frac{\left|\vec n\cdot\dfrac{\overrightarrow{PQ}}{t-t_0}\right|} {\left|\dfrac{\overrightarrow{PQ}}{t-t_0}\right|} \longrightarrow\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec v|}.$$
この分母の極限は $|\vec v|>0$ である。

媒介変数曲線の $P$ における接線の方向は $\vec v$ である。実際、$f'(t_0)\ne0$ なら、十分 $t_0$ に近い $t\ne t_0$ で $f(t)-f(t_0)\ne0$ となり、弦 $PQ$ の傾きは
$$\frac{g(t)-g(t_0)}{f(t)-f(t_0)} \longrightarrow\frac{g'(t_0)}{f'(t_0)}$$
となる。一方、$f'(t_0)=0$ の場合は $g'(t_0)\ne0$ であり、同様に
$$\frac{f(t)-f(t_0)}{g(t)-g(t_0)} \longrightarrow\frac{f'(t_0)}{g'(t_0)}=0$$
となるので、弦 $PQ$ の方向は鉛直方向に近づく。したがっていずれの場合も接線の方向ベクトルは $\vec v$ である。

$\vec n$ は $l$ の法線方向の単位ベクトルだから、$\vec n\cdot\vec v=0$ であることは、零ベクトルでない $\vec v$ が $l$ の方向と平行であることと同値である。よって、$l$ が接線であることと $\vec n\cdot\vec v=0$ は同値である。また $|\vec v|>0$ だから、上で得た極限値 $|\vec n\cdot\vec v|/|\vec v|$ が $0$ であることも、これと同値である。以上から、$l$ が $P$ における $C$ の接線であるための必要十分条件は
$$\boxed{\lim_{t\to t_0}\frac{\lvert\overrightarrow{QH}\rvert}{\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert}=0}$$
である。