3金沢医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

直交する半径ベクトルを直交座標として扱い、球面条件と内積から数値を決めた。法線方向の垂線は平面条件で定め、体積は底面積と高さから計算した。

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を互いに垂直な長さ1の基底とみなし、その順の座標を用いる。このとき
$$\overrightarrow{OP}=\left(\frac12,0,s\right),\qquad \overrightarrow{OQ}=\left(0,\frac13,t\right).$$
$P,Q$ は半径1の球面上にあるから
$$\frac14+s^2=1,\qquad \frac19+t^2=1.$$
$s,t>0$ より $s=\sqrt3/2,\ t=2\sqrt2/3$。したがって $\text{ミ}=3,\text{ム}=2,\text{メ}=2,\text{モ}=2,\text{ヤ}=3$。

$OP=OQ=1$ なので、内積はなす角の余弦に等しい。直交基底より
$$\cos\angle POQ=\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=st =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =\frac{\sqrt6}{3}.$$
従って $\text{ユ}=6,\text{ヨ}=3$。

平面 $OPQ$ の法線ベクトルとして
$$\vec{n}=\sqrt3\,\overrightarrow{OA}+2\sqrt2\,\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$$
を取れる。実際、$\vec{n}\cdot\overrightarrow{OP}=\sqrt3/2-\sqrt3/2=0$、$\vec{n}\cdot\overrightarrow{OQ}=2\sqrt2/3-2\sqrt2/3=0$。垂線のベクトルを $\overrightarrow{CH}=\lambda\vec{n}$ とする。$H$ が平面上にあるので
$$0=\vec{n}\cdot\overrightarrow{OH} =\vec{n}\cdot(\overrightarrow{OC}+\lambda\vec{n}) =-1+12\lambda,$$
よって $\lambda=1/12$。従って
$$\overrightarrow{CH} =\frac{\sqrt3\,\overrightarrow{OA}+2\sqrt2\,\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}}{12},$$
すなわち $\text{ラ}=3,\text{リ}=2,\text{ル}=2,\text{レロ}=12$。

四面体 $OCPQ$ の底面を三角形 $OCP$ とする。平面 $OCP$ は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ で張られるので、$Q$ からこの平面までの距離は $\overrightarrow{OB}$ 成分 $1/3$。また $OC=1$ で、$P$ から直線 $OC$ までの距離は $\overrightarrow{OA}$ 成分 $1/2$ だから、底面積は $[OCP]=\frac12\cdot1\cdot\frac12=\frac14$。よって
$$V_{OCPQ}=\frac13\cdot\frac14\cdot\frac13=\frac1{36}.$$
従って $\text{ワ}=1,\text{ヲあ}=36$。