4京都府立医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$f$の導関数から単調性と上界を示す。接線条件を$f(a_{n})$の値に置き換え、三角関数の簡単な評価と増加性で上下から$a_{n}$を挟み、極限を求める。

(1) $D=1+x\tan x$ とおくと、定義域では $D\geqq1$ である。商の微分と $\sec^2x-\tan^2x=1$ により
$$f'(x)=\frac{\sec^2x(1+x\tan x)-\tan x(\tan x+x\sec^2x)}{(1+x\tan x)^2} =\frac1{(1+x\tan x)^2}.$$
したがって $f'(x)>0$ なので $f$ は単調に増加する。また $f'(x)\leqq1$、$f(0)=0$ より、$x-f(x)$ は $0$ で $0$ となる単調増加関数である。よって $f(x)\leqq x$。

(2) 接点を $a$ とすると、その接線は
$$y=\cos a-\sin a(x-a).$$
点 $(2n\pi,0)$ を通る条件は $\cos a=\sin a(2n\pi-a)$、すなわち
$$a+\cot a=2n\pi. \tag{1}$$
$g(x)=x+\cot x$ は $0<x<\pi/2$ で $g'(x)=-\cot^2x<0$、また $x\to0+$ で $g(x)\to\infty$、$x\to\pi/2-$ で $g(x)\to\pi/2$ である。したがって $n\geqq1$ では接点 $a_n$ は一意に定まる。(1) から
$$f(a_n)=\frac{\tan a_n}{1+a_n\tan a_n} =\frac1{a_n+\cot a_n} =\frac1{2n\pi}.$$
(1)で $0\leqq x<\pi/2$ に対する $f(x)\leqq x$ を示したので、$1/(2n\pi)\leqq a_n$。

(3) $0\leqq x\leqq\pi/4$ では
$$(2x-\tan x)'=2-\sec^2x=1-\tan^2x\geqq0,\qquad 2\cdot0-\tan0=0,$$
ゆえに $\tan x\leqq2x$。分子 $\tan x$ は非負であり、したがって
$$f(x)=\frac{\tan x}{1+x\tan x}\geqq\frac{\tan x}{1+2x^2}.$$
さらに
$$(\tan x-x)'=\tan^2x\geqq0,\qquad \tan0-0=0$$
より $\tan x\geqq x$。両辺を正の $1+2x^2$ で割れば
$$\frac{\tan x}{1+2x^2}\geqq\frac{x}{1+2x^2}.$$

(4) $b=\dfrac1{2n\pi}(1+\dfrac1n)$ とおく。$n\geqq1$ より $b\leqq1/\pi<\pi/4$ なので、(3)を $x=b$ に適用できる。また
$$2b^2=\frac{(1+1/n)^2}{2n^2\pi^2} \leqq\frac{2}{n^2\pi^2}\leqq\frac1n$$
であり、$2n\pi b=1+1/n$ だから
$$f(b)\geqq\frac{b}{1+2b^2}\geqq\frac1{2n\pi}=f(a_n).$$
(1)で $f$ は単調増加と示したので $b\geqq a_n$。これは
$$a_n\leqq\frac1{2n\pi}\left(1+\frac1n\right)$$
を表す。

(5) (2)、(4)より
$$\frac1{2\pi}\leqq na_n\leqq\frac1{2\pi}\left(1+\frac1n\right).$$
両端は $n\to\infty$ でともに $1/(2\pi)$ に近づくので、はさみうちの原理から
$$\lim_{n\to\infty}na_n=\frac1{2\pi}.$$