IV横浜市立大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

$(1)$ $f(t)=1/\sqrt{1-t^2}$ とおく。$0<|x|<1$ で、積分の向きをそろえると
$$\frac{S(x)}{x}=\frac1{|x|}\int_{\min(0,x)}^{\max(0,x)}f(t)\,dt.$$
この積分区間では $|t|\leqq|x|$ なので
$$1\leqq f(t)\leqq\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$
両辺を区間の長さ $|x|$ で割った平均についても同じ不等式が成り立つ。したがって
$$1\leqq\frac{S(x)}x\leqq\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$
$x\to0$ のとき左辺・右辺はいずれも1に近づくから、はさみうちにより
$$\boxed{\lim_{x\to0}\frac{S(x)}x=1}.$$

$(2)$ 積分で $t=\sin\theta$ と置くと、$0\leqq t\leqq1/\sqrt2$ に対応して $0\leqq\theta\leqq\pi/4$。この範囲では $\sqrt{1-t^2}=\cos\theta$、$dt=\cos\theta\,d\theta$ だから
$$S\left(\frac1{\sqrt2}\right) =\int_0^{\pi/4}\frac{\cos\theta}{\cos\theta}\,d\theta =\boxed{\frac\pi4}.$$

$(3)$ $u=1-t^2$ とおけば $du=-2t\,dt$ なので
$$\int\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =-\frac12\int u^{-1/2}\,du =-\sqrt{u}+C =\boxed{-\sqrt{1-t^2}+C}.$$

$(4)$ $a=1/\sqrt2$ とする。$S'(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ なので、部分積分すると
$$\begin{aligned} \int_0^a S(x)\,dx &=[xS(x)]_0^a-\int_0^a xS'(x)\,dx\\ &=\frac1{\sqrt2}\cdot\frac\pi4-\int_0^{1/\sqrt2}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx. \end{aligned}$$$${\int }_0^{a}S(x)dx=[xS(x){]}_0^a-{\int }_0^{a}x{S}^{\prime }(x)dx$$$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\pi }{4}-{\int }_0^{1/\sqrt{2}}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$
(3)の積分結果を使うと
$$\int_0^{1/\sqrt2}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\left[-\sqrt{1-x^2}\right]_0^{1/\sqrt2} =1-\frac1{\sqrt2}.$$
よって
$$\boxed{\int_0^{1/\sqrt2}S(x)\,dx =\frac{1+\pi/4}{\sqrt2}-1}.$$