III日本医科大学 2022年 数学 第III問解答・解説

接点を $A=(x_0,y_0)$ とする。楕円の接線は $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ であり、その傾きが $-m$ だから $\dfrac{x_0/a^2}{y_0/b^2}=m$、すなわち $y_0=\dfrac{b^2x_0}{ma^2}$ である。これを楕円の式に代入すると
$$x_0=\frac{ma^2}{\sqrt{m^2a^2+b^2}},\qquad y_0=\frac{b^2}{\sqrt{m^2a^2+b^2}}.$$
接線は $y=-mx+k$ なので $k=y_0+mx_0=\sqrt{m^2a^2+b^2}$ である。原点からの距離は
$$h=\frac{k}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt{m^2a^2+b^2}}{\sqrt{m^2+1}}.$$

$OA$ の方向ベクトルは $(x_0,y_0)$、$OH$ の方向ベクトルは $(m,1)$ である。したがって
$$\sin\theta=\frac{|x_0-my_0|}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}\sqrt{m^2+1}}=\frac{m(a^2-b^2)}{\sqrt{m^2a^4+b^4}\sqrt{m^2+1}}.$$

$t=m^2$ とおき、$A=a^4$、$B=b^4$ と書けば、$m$ に依存する部分の2乗は $\dfrac{t}{(At+B)(t+1)}$ である。その導関数の符号は $B-At^2$ だから、最大は $t=\sqrt{B/A}=b^2/a^2$ で取る。この値を代入して整理すると $M(a,b)=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ である。

$u=a-b>0$、$r=u/b$ とおくと
$$M=\frac{r^2+2r}{r^2+2r+2}=1-\frac{2}{r^2+2r+2}$$
であり、$r>0$ について増加する。条件円内で $u=rb$ を代入すると $(r^2+1)b^2-2b+\dfrac14\leqq0$ である。左辺の最小値は頂点 $b=\dfrac{1}{r^2+1}$ で $\dfrac{r^2}{r^2+1}-\dfrac34$ となるので、可能であるためには $r^2\leqq3$ である。等号は $r=\sqrt3$、$b=\dfrac14$ で実現し、$u=\dfrac{\sqrt3}{4}$、$a=\dfrac{1+\sqrt3}{4}$ である。従って最大値は
$$\frac{3+2\sqrt3}{5+2\sqrt3}=\frac{3+4\sqrt3}{13}.$$