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新潟大学／2026年度

2新潟大学 2026年 数学 第2問解答・解説

図形の性質ベクトル

1問題

新潟大学2026年度第2問
α\alpha と β\beta を α>0\alpha>0、0<β<10<\beta<1 を満たす実数とする。三角形 OAB において、線分 OA\mathrm{OA} を (1+α):α(1+\alpha):\alpha に外分する点を P、線分 AB\mathrm{AB} を β:(1−β)\beta:(1-\beta) に内分する点を Q、直線 PQ と辺 OB の交点を R とする。三角形 OAB の面積を S と表し、OA→\overrightarrow{OA}=a⃗\vec{a}、OB→\overrightarrow{OB}=b⃗\vec{b} とする。次の問いに答えよ。

(1) 三角形 AOQ と三角形 APQ の面積を α、β、S を用いて表せ。

(2) ベクトル OP→\overrightarrow{OP}、OQ→\overrightarrow{OQ} を α、β、a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b} を用いて表せ。

(3) ベクトル OR→\overrightarrow{OR} を α、β、b⃗\vec{b} を用いて表せ。

(4) 三角形 APQ と三角形 BQR の面積が等しいとき、ベクトル OR→\overrightarrow{OR} を α と b⃗\vec{b} を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

OP:PA=(1+α):α\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=(1+\alpha):\alpha より AP=α OA\mathrm{AP}=\alpha\,\mathrm{OA} である。また AQ:QB=β:(1−β)\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=\beta:(1-\beta) より、点 Q\mathrm{Q} から直線 OA までの距離は、点 B\mathrm{B} から直線 OA までの距離の β\beta 倍である。
よって
△AOQ=βS,△APQ=APOA △AOQ=αβS. \triangle\mathrm{AOQ}=\beta S,\qquad \triangle\mathrm{APQ}=\dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{OA}}\,\triangle\mathrm{AOQ}=\alpha\beta S.

(2)

外分点 P\mathrm{P} と内分点 Q\mathrm{Q} の位置ベクトルは
OP→=(1+α)a⃗,OQ→=(1−β)a⃗+βb⃗. \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1+\alpha)\vec{a},\qquad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-\beta)\vec{a}+\beta\vec{b}.

(3)

点 R\mathrm{R} は直線 PQ 上にあるので、実数 tt を用いて OR→=(1−t)OP→+tOQ→\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}} と書ける。よって
OR→={1+α−t(α+β)}a⃗+tβb⃗. \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\{1+\alpha-t(\alpha+\beta)\}\vec{a}+t\beta\vec{b}.
点 R\mathrm{R} は辺 OB 上にあるので、a⃗\vec{a} の係数は 0 である。すなわち 1+α−t(α+β)=01+\alpha-t(\alpha+\beta)=0 より t=1+αα+βt=\dfrac{1+\alpha}{\alpha+\beta} であり、
λ=β(1+α)α+β \lambda=\dfrac{\beta(1+\alpha)}{\alpha+\beta}
とおくと OR→=λb⃗\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\lambda\vec{b} となる。
α>0, 0<β<1\alpha>0,\ 0<\beta<1 より 0<λ<10<\lambda<1 なので、点 R\mathrm{R} は辺 OB 上にある。

(4)

△APQ=αβS\triangle\mathrm{APQ}=\alpha\beta S、△BQR=(1−β)(1−λ)S\triangle\mathrm{BQR}=(1-\beta)(1-\lambda)S である。両者が等しいとき
αβ=(1−β)(1−β(1+α)α+β)=α(1−β)2α+β. \alpha\beta=(1-\beta)\left(1-\dfrac{\beta(1+\alpha)}{\alpha+\beta}\right)=\dfrac{\alpha(1-\beta)^{2}}{\alpha+\beta}.
α>0\alpha>0 なので β(α+β)=(1−β)2\beta(\alpha+\beta)=(1-\beta)^{2}、すなわち αβ+β2=1−2β+β2\alpha\beta+\beta^{2}=1-2\beta+\beta^{2} であり、β=1α+2\beta=\dfrac{1}{\alpha+2} である。
このとき
λ=β(1+α)α+β=11+α \lambda=\dfrac{\beta(1+\alpha)}{\alpha+\beta}=\dfrac{1}{1+\alpha}
となるので、OR→=11+αb⃗\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{1}{1+\alpha}\vec{b} である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 三角形の性質
  • 内分・外分点
  • 直線の方程式
  • 位置ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察
  • ベクトルの和・差・実数倍

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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