2筑波大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=\log x>0,\ v=\log y>0$ とおく。底の変換より
$$\log_x y+\log_y x=\frac vu+\frac uv =2+\frac{(u-v)^2}{uv}\geqq2.$$
等号は $u=v$、すなわち $x=y$ のときである。

(2) $t=\log_x y$ とおく。$y>x>1$ より $t>1$、また $\log_yx=1/t$。したがって
$$t+\frac1t<\frac52 \quad\text{すなわち}\quad 2t^2-5t+2<0 \quad\text{すなわち}\quad \frac12<t<2.$$
$t>1$ と合わせると $1<t<2$。底 $x>1$ では指数関数が増加するので、これは $x<y<x^2$ と同値である。よって図示する領域は、$x>1$ において直線 $y=x$ と放物線 $y=x^2$ の間の部分であり、いずれの境界も含まない。

(3) 境界を含めても面積は変わらない。円の上半分は $y=\sqrt{12-x^2}$。その交点は
$$y=x^2,\ x^2+y^2=12\ \quad\text{より}\quad\ x=\sqrt3,\ y=3, \qquad y=x,\ x^2+y^2=12\ \quad\text{より}\quad\ x=\sqrt6,\ y=\sqrt6.$$
したがって領域の上端は $1\leqq x\leqq\sqrt3$ で $y=x^2$、$\sqrt3\leqq x\leqq\sqrt6$ で $y=\sqrt{12-x^2}$、下端はいずれも $y=x$ である。よって
$$\begin{aligned} [D] &=\int_1^{\sqrt3}(x^2-x)\,dx +\int_{\sqrt3}^{\sqrt6}(\sqrt{12-x^2}-x)\,dx. \end{aligned}$$
第1項は $\sqrt3-\frac43$。第2項は $x=2\sqrt3\sin\theta$ と置くと、端点が $\theta=\pi/6,\pi/4$ となり、
$$\begin{aligned} \int_{\sqrt3}^{\sqrt6}\sqrt{12-x^2}\,dx &=12\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\left[6\theta+3\sin2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/4} =\frac\pi2+3-\frac{3\sqrt3}{2},\\ \int_{\sqrt3}^{\sqrt6}x\,dx&=\frac32. \end{aligned}$$$${\int }_{\sqrt{3}}^{\sqrt{6}}\sqrt{12-x^2}dx=12{\int }_{\pi /6}^{\pi /4}{\cos }^2\theta d\theta$$$$={\left[6\theta +3\sin 2\theta \right]}_{\pi /6}^{\pi /4}=\frac{\pi }{2}+3-\frac{3\sqrt{3}}{2},$$$${\int }_{\sqrt{3}}^{\sqrt{6}}xdx=\frac{3}{2}.$$
ゆえに
$$[D]=\sqrt3-\frac43+\frac\pi2+\frac32-\frac{3\sqrt3}{2} =\frac{3\pi+1-3\sqrt3}{6}.$$