1大阪公立大学 2023年 数学 第1問解答・解説

第1問

(1)

1回のじゃんけんでAが勝つ確率は $1/3$ であり、各回は独立である。Aは勝った回だけ1段上がり、その他の回は位置が変わらない。したがって、$n$ 回のうちちょうど $m$ 回勝つ確率が求める確率であるから、
$$x_{n,m}={}_{n}\mathrm{C}_{m}\left(\dfrac13\right)^m\left(\frac23\right)^{n-m} \qquad(0\leqq m\leqq n)$$
となる。

(2)

Bが1回のじゃんけんで出す手とAの手の組は9通り同様に確からしい。Bが1段上がる組は2通り、3段上がる組は1通り、同じ段にとどまる組（あいこ3通りと、グーまたはチョキで負ける2通り）は5通り、パーで負けて最下段に戻る組は1通りである。よって、Bが0段目から始める1回後の位置の確率は
$$P(B=0)=\frac{6}{9}=\frac23,\qquad P(B=1)=\frac29,\qquad P(B=3)=\frac19$$
である。すでに正の段 $h$ にいる場合は、次の1回後に0段目へ戻る確率が $1/9$、$h$ 段目にとどまる確率が $5/9$、$h+1$ 段目へ進む確率が $2/9$、$h+3$ 段目へ進む確率が $1/9$ となる。0段目にいる場合は、戻る事象も0段目にとどまるので、遷移先の確率は0段目 $2/3$、1段目 $2/9$、3段目 $1/9$ である。

以上を1回後の位置 $0,1,3$ ごとに計算すると、
$$\begin{aligned} y_0&=\frac23\cdot\frac23+\frac29\cdot\frac19+\frac19\cdot\frac19 =\frac{39}{81}=\frac{13}{27},\\ y_1&=\frac23\cdot\frac29+\frac29\cdot\frac59 =\frac{22}{81},\\ y_2&=\frac29\cdot\frac29=\frac4{81},\\ y_3&=\frac23\cdot\frac19+\frac19\cdot\frac59 =\frac{11}{81},\\ y_4&=\frac29\cdot\frac19+\frac19\cdot\frac29 =\frac4{81},\\ y_6&=\frac19\cdot\frac19=\frac1{81}. \end{aligned}$$$$y_0=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{9}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27},$$$$y_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{9}+\frac{2}{9}\cdot \frac{5}{9}=\frac{22}{81},$$$$y_2=\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{9}=\frac{4}{81},$$$$y_3=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot \frac{5}{9}=\frac{11}{81},$$$$y_4=\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{9}=\frac{4}{81},$$$$y_6=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{81}.$$
その他の段には到達しない。したがって
$$y_m= \begin{cases} \frac{13}{27}&(m=0),\\ \frac{22}{81}&(m=1),\\ \frac4{81}&(m=2),\\ \frac{11}{81}&(m=3),\\ \frac4{81}&(m=4),\\ \frac1{81}&(m=6),\\ 0&(\text{それ以外の }m\geqq0). \end{cases}$$

(3)

$z_0=1$ とおく。$n-1$ 回後にBが0段目にいるとき、次も0段目にいる確率は $6/9$ である。正の段にいるときは、パーで負ける場合に限って0段目へ戻るので、その確率は $1/9$ である。従って
$$z_n=\frac69 z_{n-1}+\frac19(1-z_{n-1}) =\frac19+\frac59z_{n-1}.$$
この漸化式の定数解は $1/4$ であり、
$$z_n-\frac14=\frac59\left(z_{n-1}-\frac14\right).$$
初期値 $z_0=1$ から
$$\boxed{z_n=\frac14+\frac34\left(\frac59\right)^n}$$
を得る。