III横浜市立大学 2024年 数学 第III問解答・解説

(1) 9 枚のカードを 9 人に配り直す並べ方は、全部で $9!=362880$ 通りあり、どれも同じ確率で起こる。ちょうど 5 人が元のカードを受け取る並べ方を数える。まず、元のカードを受け取る 5 人の選び方は ${}_{9}\mathrm{C}_{5}=126$ 通りである。残りの 4 人は、自分の元のカードを受け取らないように並べる。4 人の並べ方のうち、だれも元のカードを受け取らないものを数えると、2 人ずつ入れ替わる場合が 3 通り、4 人が一巡する場合が 6 通りで、合計 $9$ 通りである。よって並べ方は $126\cdot 9=1134$ 通りであり、求める確率は
$$\dfrac{1134}{9!}=\dfrac{1}{320}$$
である。

(2) 9 枚から 3 枚を選ぶ選び方は ${}_{9}\mathrm{C}_{3}=84$ 通りで、どれも同じ確率である。選んだ 3 枚の数字を大きい順に $x,\,y,\,z$ とする。$x-y=y-z$ は、$z,\,y,\,x$ が等差数列になることを表す。公差を $d$ $(d\geqq 1)$ とすると、$(z,\,y,\,x)=(z,\,z+d,\,z+2d)$ であり、$z+2d\leqq 9$ を満たす。
$d=1$ のとき $z=1,\,\cdots,\,7$ で 7 通り、$d=2$ のとき $z=1,\,\cdots,\,5$ で 5 通り、$d=3$ のとき 3 通り、$d=4$ のとき 1 通りである。合計は $7+5+3+1=16$ 通りである。よって求める確率は
$$\dfrac{16}{84}=\dfrac{4}{21}$$
である。

(3) 箱 $a_{i}$ に入るカードの数字を、その箱の値とみる。条件は $a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}$、$a_{6}<a_{5}<a_{4}$、$a_{6}<a_{7}<a_{8}<a_{9}$ である。

$a_{6}$ のカードより小さいカードの箱を考える。$a_{4}$、$a_{5}$、$a_{7}$、$a_{8}$、$a_{9}$ は $a_{6}$ より大きいので、$a_{6}$ より小さいのは $a_{1},\,a_{2},\,a_{3}$ のどれかだけである。$a_{1}<a_{2}<a_{3}$ より、その箱は先頭から $a_{1},\,\cdots,\,a_{k}$ となる。ここで $k$ は $0,\,1,\,2,\,3$ のいずれかである。このとき、$a_{6}$ のカードは小さいほうから $k+1$ 番目になる。

残りの $8-k$ 個の箱 $a_{k+1},\,\cdots,\,a_{3},\,a_{4},\,a_{5},\,a_{7},\,a_{8},\,a_{9}$ には、$a_{6}$ より大きいカードが入る。この並べ方を数える。

・$a_{k+1},\,\cdots,\,a_{3},\,a_{4},\,a_{5}$ の $5-k$ 個の箱では、$a_{4}$ が最も大きい。$a_{5}$ は、$a_{k+1},\,\cdots,\,a_{3}$ の $3-k$ 個の箱のうち、どの箱より大きくなるかを決めればよいので、$4-k$ 通りである。
・$a_{7}<a_{8}<a_{9}$ の 3 個の箱は、残りの $8-k$ 個の順番の中から位置を選ぶので、${}_{8-k}\mathrm{C}_{3}$ 通りである。

よって、$k$ ごとの並べ方は $(4-k)\cdot{}_{8-k}\mathrm{C}_{3}$ 通りである。
- $k=0$ のとき $4\cdot{}_{8}\mathrm{C}_{3}=4\cdot 56=224$ 通り
- $k=1$ のとき $3\cdot{}_{7}\mathrm{C}_{3}=3\cdot 35=105$ 通り
- $k=2$ のとき $2\cdot{}_{6}\mathrm{C}_{3}=2\cdot 20=40$ 通り
- $k=3$ のとき $1\cdot{}_{5}\mathrm{C}_{3}=1\cdot 10=10$ 通り

合計は $224+105+40+10=379$ 通りである。