2東京医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

円に内接する正方形・長方形を対角線の直径で特徴づけ、共有辺の個数は円周上の連続ブロックの数へ置き換えて数えた。

正三十六角形の隣り合う頂点に対応する中心角は $360^\circ/36=10^\circ$ である。

(1) 円に内接する正方形の対角線は円の直径だから、頂点は互いに対蹠する2組であり、その4頂点は $P_k,P_{k+9},P_{k+18},P_{k+27}$ と表せる。$k$ を36通り動かすと同じ正方形を4回ずつ数えるので、正方形は $36/4=9$ 個である。対角線の長さが2であるから、その面積は $2^2/2=2$ である。

(2) 円に内接する長方形の対角線はどちらも直径である。逆に、異なる2本の直径の端点を結べば、円周角の定理から各内角が直角となる長方形ができる。したがって、18本の直径から2本を選ぶ方法の数に等しく、
$${}_ {18}C_2=\frac{18\cdot17}{2}=153.$$

(3) 選んだ4頂点を円周順に並べる。連続して選ばれた頂点からなるブロックが $r$ 個あれば、四角形の辺のうち正三十六角形と共有する辺は $4-r$ 本である。共有辺がちょうど2本となるのは、選んだ頂点が2ブロックに分かれる場合である。
選んだ頂点4個を2つの正のブロック長に分ける方法は3通り、選ばれない32頂点を2つの正の間隔に分ける方法は31通りある。最初のブロックの始点は36通りだが、どちらのブロックを最初とするかで同じ選択を2回数える。よって
$$\frac{36\cdot3\cdot31}{2}=1674$$
個である。