3東海大学 2023年 数学 第3問解答・解説

自然数 $1,\,2,\,3,\,\cdots$ を下の図のように表に並べていく。表の横の並びを行と呼び、上から順に1行目、2行目、3行目、$\cdots$と呼ぶ。表の縦の並びを列と呼び、左から順に1列目、2列目、3列目、$\cdots$と呼ぶ。例えば、表の2行目は $3,\,5,\,8,\,\cdots$ であり、表の3列目は $4,\,8,\,13,\,\cdots$ である。

$i$、$j$ を自然数として、$i$ 行目 $j$ 列目にある数を $(i,\,j)$ 成分と呼ぶ。例えば、$(3,\,2)$ 成分は9である。上の表は、$(1,\,1)$ 成分を1として、以下の規則で自然数を並べている。

(i) $(i,\,1)$ 成分が $k$ ならば、$(1,\,i+1)$ 成分は $k+1$ である。

(ii) $(i,\,j)$ 成分（$j\neq 1$）が $k$ ならば、$(i+1,\,j-1)$ 成分は $k+1$ である。

(1) $(20,\,1)$ 成分は $\boxed{\text{ア}}$ であり、$(20,\,20)$ 成分は $\boxed{\text{イ}}$ である。また、$(\boxed{\text{ウ}},\,\boxed{\text{エ}})$ 成分は200である。

(2) $n$ を自然数とする。$(1,\,n)$ 成分は $\boxed{\text{オ}}$ であり、$(n,\,n)$ 成分は $\boxed{\text{カ}}$ である。

(3) $n$ を自然数とする。表の1行目から $n$ 行目のうち、1列目から $n$ 列目を取り出す。その中に含まれる数のうち、奇数の個数を $a(n)$ とおく。例えば、$n=3$ であれば、
$$\begin{array}{ccc} 1&2&4\\ 3&5&8\\ 6&9&13 \end{array}$$
の中の奇数の個数であるから、$a(3)=5$ となる。$a(20)$ は $\boxed{\text{キ}}$ である。