1日本大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)は式を左辺に集めて因数分解する。(2)は多項式を因数分解し、4で割った余りの3通りを調べる。

(1) 方程式を左辺にまとめて因数分解する。
$$\begin{aligned} x^3+2x^2+3x+2&=4x+4\\ x^3+2x^2-x-2&=0\\ x^2(x+2)-(x+2)&=0\\ (x+2)(x-1)(x+1)&=0. \end{aligned}$$$$x^3+2x^2+3x+2=4x+4$$$$x^3+2x^2-x-2=0$$$$x^2(x+2)-(x+2)=0$$$$(x+2)(x-1)(x+1)=0.$$
したがって、解は $x=-2,-1,1$ である。

(2) 多項式を因数分解すると
$$f(n)=n^3+2n^2+3n+2=(n+1)(n^2+n+2).$$
$n$ は4の倍数でないので、$n$ を4で割った余り $r$ は1、2、3のいずれかである。次の表の各欄は4で割った余りを表す。
$$\begin{array}{c|ccc} r & n+1 & n^2+n+2 & f(n)\\ \hline 1&2&0&0\\ 2&3&0&0\\ 3&0&2&0 \end{array}$$
どの場合も $f(n)$ は4で割り切れる。よって $f(n)$ は4の倍数である。