7信州大学 2022年 数学 第7問解答・解説

$p$ ならば $q$ が成り立つこと
$p$を仮定し、$D_n=a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n$ とおく。$p$から $a_3=2$ なので
$$D_1=a_2^2-a_3a_1=1-2=-1.$$
また $p$ の漸化式を使うと
$$\begin{aligned} D_{n+1} &=a_{n+2}^2-a_{n+3}a_{n+1}\\ &=a_{n+2}^2-(a_{n+2}+a_{n+1})a_{n+1}\\ &=a_{n+2}(a_{n+2}-a_{n+1})-a_{n+1}^2\\ &=a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=-D_n. \end{aligned}$$$$D_{n+1}=a_{n+2}^2-a_{n+3}{a}_{n+1}$$$$=a_{n+2}^2-(a_{n+2}+a_{n+1})a_{n+1}$$$$=a_{n+2}(a_{n+2}-a_{n+1})-a_{n+1}^2$$$$=a_{n+2}{a}_n-a_{n+1}^2=-D_n.$$
従って $D_1=-1$ から帰納的に $D_n=(-1)^n$ であり、$q$ が成り立つ。

$q$ ならば $p$ が成り立つこと
$q$を仮定する。$q$を $n=1$ に適用すると
$$1-a_3=-1,\qquad a_3=2=a_2+a_1,$$
ゆえに漸化式は $n=1$ で成り立つ。次に、ある $n\geqq2$ について $k=1,\ldots,n-1$ では漸化式が成り立つと仮定する。この帰納法の仮定より $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$ は正の整数となり、特に $a_n\ne0$ である。また
$$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}.$$
$q$を $n-1$ に用いると
$$a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=(-1)^{n-1}.$$
これを変形して
$$\begin{aligned} a_{n+1}^2-(a_{n+1}+a_n)a_n &=a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)-a_n^2\\ &=a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2\\ &=(-1)^n. \end{aligned}$$$$a_{n+1}^2-(a_{n+1}+a_n)a_n=a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)-a_n^2$$$$=a_{n+1}{a}_{n-1}-a_n^2$$$$=(-1{)}^n.$$
一方、$q$を $n$ に用いると $a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n=(-1)^n$ である。両式を比較し、$a_n\ne0$ に注意して差を取れば
$$a_{n+2}a_n=(a_{n+1}+a_n)a_n, \qquad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n.$$
従って漸化式は $n$ でも成り立つ。数学的帰納法により全ての自然数 $n$ で成り立つので $p$ が成り立つ。

以上より $p$ と $q$ は同値である。