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神戸大学／2022年度／前期

2神戸大学 2022年 数学 第2問解答・解説

図形と計量三角関数数列極限

1問題

神戸大学2022年度第2問
mm を 33 以上の自然数、θ=2πm\theta=\frac{2\pi}{m}、C1C_1 を半径 11 の円とする。円 C1C_1 に内接する（すべての頂点が C1C_1 上にある）正 mm 角形を P1P_1 とし、P1P_1 に内接する（P1P_1 のすべての辺と接する）円を C2C_2 とする。同様に、nn を自然数とするとき、円 CnC_n に内接する正 mm 角形を PnP_n とし、PnP_n に内接する円を Cn+1C_{n+1} とする。CnC_n の半径を rnr_n、CnC_n の内側で PnP_n の外側の部分の面積を sns_n とし、f(m)=∑n=1∞sn\displaystyle f(m)=\sum_{n=1}^{\infty}s_n とする。以下の問に答えよ。（配点 3030 点）
（1）rn,snr_n,s_n の値を θ,n\theta,n を用いて表せ。
（2）f(m)f(m) の値を θ\theta を用いて表せ。
（3）極限値 lim⁡m→∞f(m)\displaystyle \lim_{m\to\infty}f(m) を求めよ。
ただし、必要があれば lim⁡x→0x−sin⁡xx3=16\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6} を用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • rn=cos⁡n−1θ2r_{n}=\cos^{n-1}\dfrac{\theta}{2}、sn=π(θ−sin⁡θ)θcos⁡2n−2θ2s_{n}=\dfrac{\pi(\theta-\sin\theta)}{\theta}\cos^{2n-2}\dfrac{\theta}{2}、f(m)=π(θ−sin⁡θ)θsin⁡2θ2f(m)=\dfrac{\pi(\theta-\sin\theta)}{\theta\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}}、lim⁡m→∞f(m)=2π3\displaystyle\lim_{m\to\infty}f(m)=\dfrac{2\pi}{3}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

α=θ2=πm\alpha=\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\pi}{m} とおく。正 mm 角形の中心から辺までの距離は、半角 α\alpha の直角三角形より rncos⁡αr_{n}\cos\alpha。従って
rn+1=rncos⁡α,r1=1,rn=cos⁡n−1α.r_{n+1}=r_{n}\cos\alpha,\quad r_{1}=1,\quad r_{n}=\cos^{n-1}\alpha.
正 mm 角形の面積は m2rn2sin⁡θ\dfrac{m}{2}r_{n}^{2}\sin\theta。円との差は
sn=rn2(π−m2sin⁡θ)=π(θ−sin⁡θ)θcos⁡2n−2α.s_{n}=r_{n}^{2}\left(\pi-\dfrac{m}{2}\sin\theta\right)=\dfrac{\pi(\theta-\sin\theta)}{\theta}\cos^{2n-2}\alpha.

(2)

m≧3m\geqq3 だから 0<cos⁡2α<10<\cos^{2}\alpha<1。等比級数を足すと
f(m)=∑n=1∞sn=π(θ−sin⁡θ)θ(1−cos⁡2α)=π(θ−sin⁡θ)θsin⁡2(θ/2).f(m)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}s_{n}=\dfrac{\pi(\theta-\sin\theta)}{\theta(1-\cos^{2}\alpha)}=\dfrac{\pi(\theta-\sin\theta)}{\theta\sin^{2}(\theta/2)}.

(3)

m→∞m\to\infty で θ→0+\theta\to0+。従って
f(m)=π(θ−sin⁡θ)/θ3(sin⁡(θ/2)/θ)2⟶π1/6(1/2)2=2π3,f(m)=\pi\dfrac{(\theta-\sin\theta)/\theta^{3}}{\left(\sin(\theta/2)/\theta\right)^{2}}\longrightarrow\pi\dfrac{1/6}{(1/2)^{2}}=\dfrac{2\pi}{3},
問題文で与えられた極限と sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to1 を用いた。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 正多角形の内接円
  • 面積差
  • 無限等比級数
  • 基本極限

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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