6信州大学 2022年 数学 第6問解答・解説

2 次の項の係数がともに正の 2 次関数 $f(x)$、$g(x)$ について、座標平面上の放物線 $y=f(x)$、$y=g(x)$ をそれぞれ $C_{1}$、$C_{2}$ とする。また、直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ を $\ell$ とする。$C_{1}$ と $\ell$ は点 $(0,\,0)$ で、$C_{2}$ と $\ell$ は点 $(4,\,2)$ で接し、$C_{1}$ と $C_{2}$ は点 $\left(\dfrac{4}{3},\,\dfrac{22}{9}\right)$ で交わるとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ と $g(x)$ を求めよ。

(2) 放物線 $C_{1}$ の $x\geqq 0$ の部分と放物線 $C_{2}$ および直線 $\ell$ によって囲まれる図形を、$y$ 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ。