4信州大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) $\left[\frac{x}{2}\right]$=k であることは，k$\leqq$ $\frac{x}{2}<k+1$ と同値である。2>0 なので両辺に 2 を掛けて，$$2k\leqq x<2k+2$$ を得る。

(2) $\left[\frac{x}{2}\right]$=1 から 2$\leqq$ x<4，$\left[\frac{x}{3}\right]$=1 から 3$\leqq$ x<6 である。したがって共通範囲は $$3\leqq x<4$$ となる。

(3) 共通の整数値を n とおくと，$$\left[\frac{x}{2}\right]=\left[\frac{x}{3}\right]=n$$
であるための必要十分条件は、次の二つの不等式がともに成り立つことである。
$$2n\leqq x<2n+2,\quad 3n\leqq x<3n+3.$$
まず n$\leqq$ -1 のとき，左端は 2n，右端は 3n+3 なので，共通範囲は $2n\leqq x<3n+3$ である。これが空でない条件は 2n<3n+3，すなわち n>-3 であり，整数 n は -2,-1 に限られる。このとき範囲はそれぞれ $-4\leqq x<-3$、$-2\leqq x<0$ である。

次に n$\geqq$ 0 のとき，左端は 3n，右端は 2n+2 なので，共通範囲は $3n\leqq x<2n+2$ である。これが空でない条件は 3n<2n+2，すなわち n<2 であり，整数 n は 0,1 に限られる。このとき範囲はそれぞれ $0\leqq x<2$、$3\leqq x<4$ である。

以上を合わせると、$-2\leqq x<0$ と $0\leqq x<2$ は $-2\leqq x<2$ にまとめられるので、求める範囲は $-4\leqq x<-3$、$-2\leqq x<2$、$3\leqq x<4$ のいずれかである。