3弘前大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$n$ は自然数とする。座標平面上に2直線 $\ell_{1}:y=x$ と $\ell_{2}:y=2x$ をとる。 $\ell_{1}$ 上の点 $A_{n}(a_{n},a_{n})$ を通り、y軸に平行な直線と $\ell_{2}$ との交点を $B_{n}$ とし、点 $B_{n}$ を通り、 $\ell_{1}$ に垂直な直線と $\ell_{1}$ との交点を $A_{n+1}(a_{n+1},a_{n+1})$ とする。同様に $\ell_{1}$ 上の点 $C_{n}(c_{n},c_{n})$ を通り、x軸に平行な直線と $\ell_{2}$ との交点を $D_{n}$ とし、点 $D_{n}$ を通り、 $\ell_{1}$ に垂直な直線と $\ell_{1}$ との交点を $C_{n+1}(c_{n+1},c_{n+1})$ とする。 $a_{1}=1$ のとき、次の問いに答えよ。ただし、 $\frac{11}{7}<\log_{2}3$ は用いてよい。

(1) 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項 $a_{n}$ を n の式で表せ。

(2) k を自然数とする。 $c_{1}=a_{k}$ とし、数列 $\{c_{n}\}$ を定める。

(i) 一般項 $c_{n}$ を k と n の式で表せ。

(ii) $c_{k+1} < 1 < c_{k}$ を満たす k をすべて求めよ。