4大阪大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

$g(x)=\log(x+1)+1-x$ とおくと $g'(x)=-\dfrac{x}{x+1}<0$（$x>0$）である。また $g(1)=\log 2>0$、$g(3)=2\log 2-2<0$（$\log 2<1$）なので、中間値の定理と単調性により、正の解 $\alpha$ はただ 1 つで、$\alpha>1$ である。

(2)

$0<x<\alpha$ に対し $u=\dfrac{\alpha-x}{x+1}>0$ とおく。$f(\alpha)=\alpha$ より $\alpha-f(x)=\log(1+u)$ である。$0<\log(1+u)<u$ を使うと、
$$0<\dfrac{\alpha-f(x)}{\alpha-x}=\dfrac{\log(1+u)}{(x+1)u}<\dfrac{1}{x+1}=f'(x).$$

(3)

$x_{1}=1$ で $1\leqq x_{1}<\alpha$ である。$1\leqq x_{n}<\alpha$ なら $x_{n+1}=f(x_{n})>1$ であり、上の不等式から $f(x_{n})<\alpha$ である。ゆえに帰納法で、すべての $n$ について $1\leqq x_{n}<\alpha$ が成り立つ。さらに
$$0<\dfrac{\alpha-x_{n+1}}{\alpha-x_{n}}<f'(x_{n})=\dfrac{1}{x_{n}+1}\leqq\dfrac{1}{2}$$
となるので、$\alpha-x_{n+1}<\dfrac{1}{2}(\alpha-x_{n})$ が成り立つ。また、$0<\alpha-x_{n}\leqq\dfrac{\alpha-1}{2^{n-1}}$ である。

(4)

$n\to\infty$ のとき $\dfrac{\alpha-1}{2^{n-1}}\to0$ なので、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}=\alpha$ である。