4名古屋市立大学 2022年 数学 第4問解答・解説

群の累積項数を有限等差和と有限等比和で求め、項番号が属する群を特定する。各群の和と、その和の有限総和を計算して小問を解く。

群の累積項数を $N_k$ とおき、$N_0=0$ とする。第 $j$ 群の項数は $j+2^{j-1}$ だから、
$$N_k=\sum_{j=1}^{k}(j+2^{j-1})=\frac{k(k+1)}{2}+2^k-1.$$

(1)　
$$N_8=\frac{8\cdot9}{2}+2^8-1=291,\qquad N_9=\frac{9\cdot10}{2}+2^9-1=556.$$
したがって $291<500\leqq556$ より、$a_{500}$ は第 $9$ 群の項である。第 $9$ 群の各項は $2^{-9+1}=2^{-8}$ なので、
$$a_{500}=\frac{1}{256}.$$

(2)　 第 $k$ 群の項数と各項の値から、
$$S_k=(k+2^{k-1})2^{-k+1}=\frac{k}{2^{k-1}}+1.$$
さらに、$F_0=0$、$F_i=4-\dfrac{i+2}{2^{i-1}}\ (i\geqq1)$ とおくと、各 $i\geqq1$ について
$$F_i-F_{i-1}=\left(4-\frac{i+2}{2^{i-1}}\right)-\left(4-\frac{i+1}{2^{i-2}}\right)=\frac{i}{2^{i-1}}.$$
よってこの差を $i=1$ から $k$ まで加えると、
$$\sum_{i=1}^{k}S_i=k+\sum_{i=1}^{k}\frac{i}{2^{i-1}}=k+F_k =k+4-\frac{k+2}{2^{k-1}}.$$

(3)　
$$N_{10}=\frac{10\cdot11}{2}+2^{10}-1=1078,\qquad N_{11}=\frac{11\cdot12}{2}+2^{11}-1=2113.$$
したがって $1078<2022\leqq2113$ より、$a_{2022}$ は第 $11$ 群にある。第 $1$ 群から第 $10$ 群までの和は (2) より
$$\sum_{i=1}^{10}S_i=10+4-\frac{12}{2^9}=\frac{1789}{128}.$$
第 $11$ 群のうち $2022-N_{10}=944$ 項を加えればよく、各項は $2^{-10}=\dfrac{1}{1024}$ だから、
$$\sum_{n=1}^{2022}a_n=\frac{1789}{128}+\frac{944}{1024} =\frac{1789}{128}+\frac{118}{128}=\frac{1907}{128}.$$