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信州大学／2022年度

2信州大学 2022年 数学 第2問解答・解説

場合の数と確率

1問題

信州大学2022年度第2問
ボタンを1回押すたびに0から9の10個の整数のうちの1つを表示する装置がある。どの整数が表示されるかは同様に確からしいとする。この装置を用いて次のルールでゲームをする。

・まず、2 回続けてボタンを押して、表示された整数を順に XX、YY とする。
・この XX と YY が ∣X−Y∣≦1|X-Y|\leqq 1 を満たすならば失敗で、それ以上ボタンを押すことはできないが、∣X−Y∣≧2|X-Y|\geqq 2 を満たすならばもう 1 回ボタンを押すことができるとする。
・3回目に表示された整数をZとして、このZZがX<Z<YX<Z<YまたはY<Z<XY<Z<Xを満たすときは成功で、それ以外は失敗とする。

このとき、以下の問いに答えよ。

(1) ボタンを3回押すことができる確率を求めよ。

(2) ゲームに成功する確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

各表示を0〜9から独立に、どの数も同様に確からしく選ぶ試行として扱う。(1)は差が1以下となる順序つきの2数を数え、(2)は|X−Y|の値ごとに順序つきの初めの2数と間に入るZの個数を数える。

解答

(1)
1回目と2回目の表示の組 (X,Y)(X,Y) は、順序を区別すると 102=10010^2=100 通りが同様に確からしい。X=0,9X=0,9 のとき ∣X−Y∣≦1|X-Y|\leqq1 となる YY はそれぞれ2個、X=1,2,…,8X=1,2,\ldots,8 のときはそれぞれ3個である。従って失敗となる組は
2⋅2+8⋅3=28通り 2\cdot2+8\cdot3=28\text{通り}
であり、3回目を押せる組は 100−28=72100-28=72 通り。よって確率は
72100=1825. \boxed{\frac{72}{100}=\frac{18}{25}}.

(2)
∣X−Y∣=d|X-Y|=d（d=2,3,…,9d=2,3,\ldots,9）とする。差が dd となる順序つきの (X,Y)(X,Y) は、0≦X,Y≦90\leqq X,Y\leqq9 の範囲で 2(10−d)2(10-d) 通りあり、それぞれについて XX と YY の間にある整数 ZZ は d−1d-1 個である。従って成功する順序つきの (X,Y,Z)(X,Y,Z) の個数は
∑d=292(10−d)(d−1)=2∑j=18(9−j)j=2(9⋅36−204)=240, \sum_{d=2}^{9}2(10-d)(d-1) =2\sum_{j=1}^{8}(9-j)j =2\left(9\cdot36-204\right)=240,
ただし j=d−1j=d-1 とした。3回の表示を同様に確からしい独立な表示として数えると全体は 103=100010^3=1000 通りなので、成功確率は
2401000=625. \boxed{\frac{240}{1000}=\frac{6}{25}}.
確認として、3回目を押せる確率 18/2518/25 に、押せる場合の条件付き成功確率 240/(72⋅10)=1/3240/(72\cdot10)=1/3 を掛けても 6/256/25 となる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 和の法則
  • 積の法則
  • 独立な試行
  • 確率の基本法則

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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