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信州大学／2022年度

5信州大学 2022年 数学 第5問解答・解説

指数関数・対数関数極限積分法数列

1問題

信州大学2022年度第5問
pp は正の実数とする。関数 f(x)f(x) は、すべての実数 xx について f(x+p)=f(x)f(x+p)=f(x) を満たし、0≦x≦p0\leqq x\leqq p において

f(x)=p2−∣x−p2∣f(x)=\dfrac{p}{2}-|x-\dfrac{p}{2}|

であるとする。また、

Ik=∫p(k−1)pke−xf(x) dx(k=1, 2, 3, ⋯ )I_{k}=\displaystyle\int_{p(k-1)}^{pk}e^{-x}f(x)\,dx\quad(k=1,\,2,\,3,\,\cdots)

とおく。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) I1I_{1} を求めよ。

(2) IkI1\dfrac{I_{k}}{I_{1}} を求めよ。

(3) nn は自然数とする。lim⁡n→∞∫0pne−xf(x) dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{pn}e^{-x}f(x)\,dx を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    I1=(1−e−p2)2I_{1}=\left(1-e^{-\dfrac{p}{2}}\right)^{2}
  • (2)
    IkI1=e−p(k−1)\dfrac{I_{k}}{I_{1}}=e^{-p(k-1)}
  • (3)
    lim⁡n→∞∫0pne−xf(x) dx=1−e−p21+e−p2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{pn}e^{-x}f(x)\,dx=\dfrac{1-e^{-\dfrac{p}{2}}}{1+e^{-\dfrac{p}{2}}}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

1周期上の折れ線関数に分けて定積分を計算し、周期性による指数因子の倍率を使って全区間を等比級数にまとめた。

解答

(1)

0≦x≦p20\leqq x\leqq\dfrac{p}{2}ではf(x)=xf(x)=x、p2≦x≦p\dfrac{p}{2}\leqq x\leqq pではf(x)=p−xf(x)=p-xである。したがって
I1=∫0p2xe−x dx+∫p2p(p−x)e−x dx=[−(x+1)e−x]0p2+[(x−p+1)e−x]p2p=1+e−p−2e−p2=(1−e−p2)2.\begin{aligned}I_{1}&=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{p}{2}}xe^{-x}\,dx+\displaystyle\int_{\dfrac{p}{2}}^{p}(p-x)e^{-x}\,dx\\&=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{0}^{\dfrac{p}{2}}+\left[(x-p+1)e^{-x}\right]_{\dfrac{p}{2}}^{p}\\&=1+e^{-p}-2e^{-\dfrac{p}{2}}=\left(1-e^{-\dfrac{p}{2}}\right)^{2}.\end{aligned}

(2)

t=x−p(k−1)t=x-p(k-1)とおくと、周期性からf(t+p(k−1))=f(t)f(t+p(k-1))=f(t)なので
Ik=e−p(k−1)∫0pe−tf(t) dt=e−p(k−1)I1I_{k}=e^{-p(k-1)}\displaystyle\int_{0}^{p}e^{-t}f(t)\,dt=e^{-p(k-1)}I_{1}
である。p>0p>0よりI1>0I_{1}>0であり、IkI1=e−p(k−1)\dfrac{I_{k}}{I_{1}}=e^{-p(k-1)}となる。

(3)

∫0pne−xf(x) dx=∑k=1nIk=I1∑j=0n−1e−pj=(1−e−p2)21−e−pn1−e−p.\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{pn}e^{-x}f(x)\,dx&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}I_{k}=I_{1}\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}e^{-pj}\\&=\left(1-e^{-\dfrac{p}{2}}\right)^{2}\dfrac{1-e^{-pn}}{1-e^{-p}}.\end{aligned}
p>0p>0だからe−p<1e^{-p}<1であり、n→∞n\to\inftyとすると、求める極限値は
(1−e−p2)21−e−p=1−e−p21+e−p2\dfrac{\left(1-e^{-\dfrac{p}{2}}\right)^{2}}{1-e^{-p}}=\dfrac{1-e^{-\dfrac{p}{2}}}{1+e^{-\dfrac{p}{2}}}
となる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 指数関数のグラフ・増減
  • 定積分
  • 部分積分法
  • 等比数列の一般項と和
  • 無限等比級数
  • 数列の極限

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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