3大阪大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$\ell$ を含み $m$ に平行な平面を $xy$ 平面にとり、$\ell$ を $x$ 軸とする直交座標を選ぶ。$m$ の方向ベクトルは $(a,b,0)$ と書け、$\ell,m$ は平行でないから $b\ne0$。この座標で
$$\ell:\ P=(x,0,0),\qquad m:\ Q=(p+at,q+bt,r)\quad(t\text{ は実数})$$
と表せる。もし $r=0$ なら $m$ は $xy$ 平面内にあり、$b\ne0$ より $q+bt=0$ となる点を持つので $\ell$ と交わる。これはねじれの条件に反するから $r\ne0$。

$\ell$ の方向 $(1,0,0)$ と $m$ の方向 $(a,b,0)$ の両方に垂直な方向は鉛直方向だけである。従って共通垂線の両足 $P,Q$ は同じ $x$ 座標・$y$ 座標を持ち、
$$q+bt=0,\qquad x=p+at$$
を満たす。$b\ne0$ より $t=-q/b$ はただ1つに定まり、続いて $x$ もただ1つに定まる。このとき
$$Q-P=(0,0,r)\ne(0,0,0)$$
なので $P,Q$ を結ぶ直線が定まり、両方向に垂直だから共通垂線である。どの共通垂線も同じ条件を満たし、$t,x$ は一意なので、この共通垂線はただ1つである。