2大阪大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=f(1)-3=\alpha+\beta-2$、$v=f(i)-1=\beta+i\alpha-2$ とおけば、条件は $|u|\leqq1, |v|\leqq3$。連立して
$$\alpha=\frac{v-u}{i-1},\qquad \beta=2+u-\alpha.$$
したがって
$$w=f(1+i)=2+2i+\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v.$$
各係数の絶対値は $1/\sqrt2$ なので
$$|w-(2+2i)|\leqq\frac1{\sqrt2}+\frac3{\sqrt2}=2\sqrt2.$$
逆に、任意の $q=re^{i\theta}$（$0\leqq r\leqq2\sqrt2$）について $\rho=r/(2\sqrt2)$ とし、$u=\rho e^{i(\theta-\pi/4)}$、$v=3\rho e^{i(\theta+\pi/4)}$ と取ると $|u|\leqq1,|v|\leqq3$ で、$\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v=q$。よって範囲は
$$|w-(2+2i)|\leqq2\sqrt2,$$
すなわち複素平面上で中心 $(2,2)$、半径 $2\sqrt2$ の閉円板である。

(2) $f(1+i)=0$ なら、
$$\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v=-2-2i.$$
右辺の絶対値は $2\sqrt2$ で、左辺の各項の絶対値の最大値の和と等しい。三角不等式の等号条件から $|u|=1, |v|=3$ で両項は偏角 $-3\pi/4$ をもつ。したがって $u=-1,v=-3i$。これを戻すと
$$\alpha=\frac{v-u}{i-1}=-2+i,\qquad \beta=2+u-\alpha=3-i.$$

$f(1)$, $f(i)$ の二つの制約を中心化した変数$u,v$で表し、$f(1+i)$をそれらの一次結合に直す。三角不等式で円板への包含を示し、偏角をそろえる明示的構成で逆包含を示す。原点が範囲の境界上にある場合は三角不等式の等号条件でu,vを一意に定める。