4北海道大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ より、$$\begin{aligned}25&=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2\\&=|\overrightarrow{OB}|^2+|\overrightarrow{OA}|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\\&=|\overrightarrow{OB}|^2+9-20=|\overrightarrow{OB}|^2-11.\end{aligned}$$$$25=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|}^2$$$$=|\overrightarrow{OB}{|}^2+|\overrightarrow{OA}{|}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$$$$=|\overrightarrow{OB}{|}^2+9-20=|\overrightarrow{OB}{|}^2-11.$$したがって $|\overrightarrow{OB}|^2=36$ であり、$|\overrightarrow{OB}|=6$。

(2) 半周長は $(3+5+6)/2=7$。内接円の半径を $r$、三角形 $OAB$ の面積を $\Delta$ とすると、$\Delta=7r$。$\overrightarrow{OI}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ とおく。内心から各辺までの距離は $r$ なので、$[\triangle OBI]=3r$、$[\triangle OAI]=3r/2$。一方、ベクトルの面積比から $[\triangle OBI]=x\Delta$、$[\triangle OAI]=y\Delta$。よって $x=3/7$、$y=3/14$ となり、$$\overrightarrow{OI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{OB}.$$

(3) 円への接線の長さは同じ外部の点から引くと等しい。頂点 $O,A,B$ からの接線の長さをそれぞれ $u,v,w$ とすると、$$u+v=3,\qquad v+w=5,\qquad u+w=6.$$ したがって $u=(3+6-5)/2=2$、すなわち $|\overrightarrow{OH}|=2$。$H$ は辺 $OA$ 上にあるから $\overrightarrow{OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$。ゆえに$$\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OH}=\left(\frac{3}{7}-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{OA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{OB}=-\frac{5}{21}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{OB}.$$