1筑波大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) 三角形OABでACは角の二等分線だから、角の二等分線の定理より
$$OC:CB=OA:AB=4:2=2:1.$$
OB=4より$OC=\frac83$。したがって
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec a+\frac23\vec b.$$
(2) 長さから
$$|\vec a-\vec b|^2=AB^2=4,\qquad |\vec a|=|\vec b|=4$$
なので、$\vec a\cdot\vec b=14$。$\vec d=\vec b-\vec a/2$とおくと
$$\vec d-\vec a=\vec b-\frac32\vec a=\frac32\left(\frac23\vec b-\vec a\right) =\frac32\overrightarrow{AC},$$
よってDは直線AC上にある。また
$$\vec d\cdot\overrightarrow{AC} =\left(\vec b-\frac12\vec a\right)\cdot\left(\frac23\vec b-\vec a\right) =\frac{32}{3}-14-\frac{14}{3}+8=0.$$
ゆえにODはACに垂直で、$\overrightarrow{OD}=-\vec a/2+\vec b$。
(3) $\overrightarrow{BC}=-\vec b/3$、$\overrightarrow{BD}=-\vec a/2$なので、三角形BCDとOABの挟角は等しい。辺の長さの比はBC:OB=1:3、BD:OA=1:2。面積公式$S=\frac12 ab\sin\theta$から
$$[BCD]=\frac{BC\cdot BD}{OB\cdot OA}[OAB]=\frac16[OAB].$$
底辺AB=2に対する三角形OABの高さは$\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$。よって$$[OAB]=\sqrt{15},\qquad [BCD]=\frac{\sqrt{15}}6.$$