4大阪医科薬科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $n$ を正の整数とする。二項係数に関する等式
$${}_{2n}\mathrm{C}_{n}-{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}=\dfrac{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}}{n+1}$$
が成り立つことを示せ。

(2) コインを1枚投げる。投げたときの表裏の出る確率はそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ である。表が出れば得点は1点とし、裏が出れば得点は $-1$ 点とする。この試行を12回繰り返す。1回目から $k$ 回目までの合計得点を $S_{k}$ 点とする。ただし $S_{1}$ 点は1回目の得点である。次の問いに答えよ。

(i) $S_{12}=0$ となる確率を求めよ。

(ii) $S_{12}=0$ であったとき、$S_{1},\,S_{2},\,\cdots,\,S_{11}$ がすべて負である確率を求めよ。