2大阪医科薬科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

垂線の足は $t\vec{m}$ で $t=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\vec{m}}{|\vec{m}|^{2}}$。(3) は、Aを含む $l$ のまわりの面とBを含む面を、$l$ を軸に開いて1つの平面にすると、2点を結ぶ線分の長さが最小値になる。

$|\vec{m}|^{2}=65$。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\vec{m}=60+70=130$ より $\mathrm{C}=2\vec{m}=(-12,\,4,\,10)$。$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\vec{m}=-48-2-15=-65$ より $\mathrm{D}=-\vec{m}=(6,\,-2,\,-5)$。$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,\,4,\,-4)$、$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=6$。$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=(-2,\,-1,\,-2)$、$|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|=3$。

(2) 4点が同一平面上にあるとすると、その平面は異なる2点C, Dを通るので $l$ を含む。その平面の中で $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$、$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ はどちらも $l$ に垂直なので平行になるはずだが、$(-2,\,4,\,-4)$ と $(-2,\,-1,\,-2)$ は平行でない。よって同一平面上にない。

(3) $l$ 上の位置を、原点からの符号付きの距離 $u$（$\vec{m}$ の向きを正）で表すと、Cは $u=2\sqrt{65}$、Dは $u=-\sqrt{65}$。Pが $u$ にあるとき
$$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=\sqrt{(u-2\sqrt{65})^{2}+6^{2}}+\sqrt{(u+\sqrt{65})^{2}+3^{2}}.$$
これは平面上の点 $(u,\,0)$ から2点 $(2\sqrt{65},\,6)$、$(-\sqrt{65},\,-3)$ までの距離の和で、最小値は2点間の距離
$$\sqrt{(3\sqrt{65})^{2}+9^{2}}=\sqrt{666}=3\sqrt{74}.$$
このときPはCDを $6:3=2:1$ に内分する点で、$u=2\sqrt{65}-\dfrac{2}{3}\cdot3\sqrt{65}=0$、すなわち $\mathrm{P}(0,\,0,\,0)$。