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大阪医科薬科大学／2025年度／前期

3大阪医科薬科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

積分法図形と方程式

難易度勝負 レベル 5/10 目安 20分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

大阪医科薬科大学2025年度第3問
原点をOとする xyxy 平面において、曲線 C: y=x2−x+2C:\ y=x^{2}-x+2 と直線 L: y=2xL:\ y=2x で囲まれた図形を SS とする。図形 SS の境界に含まれる CC 上の各点をPとして、各点Pから LL に垂線をおろし、垂線と LL との交点をHとする。線分PH、線分OHの長さをそれぞれ r, hr,\,h とする。次の問いに答えよ。

(1) 点Pの xx 座標を tt とするとき、rr および hh をそれぞれ tt を用いて表せ。

(2) 図形 SS を直線 LL の周りに1回転させてできる立体の体積 VV を求めよ。

出典：大阪医科薬科大学 2025年度 前期 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    r=−t2+3t−25r=\dfrac{-t^{2}+3t-2}{\sqrt{5}}、h=2t2−t+45h=\dfrac{2t^{2}-t+4}{\sqrt{5}}（1≦t≦21\leqq t\leqq2）
  • (2)
    V=5150πV=\dfrac{\sqrt{5}}{150}\pi

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

rr は点と直線の距離、hh は OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}} の LL 方向（単位ベクトル (1, 2)5\dfrac{(1,\,2)}{\sqrt{5}}）への正射影。体積は V=π∫r2 dhV=\pi\displaystyle\int r^{2}\,dh を tt で置換する。

解答

交点は x2−3x+2=0x^{2}-3x+2=0 より x=1, 2x=1,\,2。SS の境界の CC 上の点は 1≦t≦21\leqq t\leqq2。

(1) P(t, t2−t+2)\mathrm{P}(t,\,t^{2}-t+2)。1≦t≦21\leqq t\leqq2 で 2t−(t2−t+2)=−(t−1)(t−2)≧02t-(t^{2}-t+2)=-(t-1)(t-2)\geqq0 なので
r=−t2+3t−25,h=t+2(t2−t+2)5=2t2−t+45. r=\dfrac{-t^{2}+3t-2}{\sqrt{5}},\qquad h=\dfrac{t+2(t^{2}-t+2)}{\sqrt{5}}=\dfrac{2t^{2}-t+4}{\sqrt{5}}.

(2) dhdt=4t−15>0\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{4t-1}{\sqrt{5}}>0 なので、LL に垂直な断面は半径 rr の円で、
V=π∫r2 dh=π55∫12(t−1)2(t−2)2(4t−1) dt. V=\pi\displaystyle\int r^{2}\,dh=\dfrac{\pi}{5\sqrt{5}}\int_{1}^{2}(t-1)^{2}(t-2)^{2}(4t-1)\,dt .
s=t−1s=t-1 として ∫01s2(1−s)2(4s+3) ds=4⋅160+3⋅130=16\displaystyle\int_{0}^{1}s^{2}(1-s)^{2}(4s+3)\,ds=4\cdot\dfrac{1}{60}+3\cdot\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{6}（∫01s3(1−s)2ds=160\displaystyle\int_{0}^{1}s^{3}(1-s)^{2}ds=\dfrac{1}{60}、∫01s2(1−s)2ds=130\displaystyle\int_{0}^{1}s^{2}(1-s)^{2}ds=\dfrac{1}{30}）。よって
V=π305=5150π. V=\dfrac{\pi}{30\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{150}\pi .

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 点と直線の距離
  • 斜めの軸の回転体

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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