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大阪医科薬科大学／2025年度／前期

1大阪医科薬科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

積分法極限

難易度必答 レベル 5/10 目安 20分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

大阪医科薬科大学2025年度第1問
次の問いに答えよ。

(1) 次の極限値を求めよ。
lim⁡n→∞∑k=1nkn2cos⁡(k2π2n2) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^{2}}\cos\left(\dfrac{k^{2}\pi}{2n^{2}}\right)

(2)
an=∑k=1n2ksin⁡(2knπ)(n=1, 2, 3, ⋯ ) a_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2k\sin\left(\dfrac{2k}{n}\pi\right)\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)
で定義される数列 {an}\{a_{n}\} がある。pp を2以上の整数とするとき、
lim⁡n→∞annp \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{p}}
を求めよ。

出典：大阪医科薬科大学 2025年度 前期 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    1π\dfrac{1}{\pi}
  • (2)
    p=2p=2 のとき −1π-\dfrac{1}{\pi}、p≧3p\geqq3 のとき 00

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は区分求積で ∫01xcos⁡πx22dx\displaystyle\int_{0}^{1}x\cos\dfrac{\pi x^{2}}{2}dx。(2) は区分求積で ann2→2∫01xsin⁡2πx dx=−1π\dfrac{a_{n}}{n^{2}}\to2\displaystyle\int_{0}^{1}x\sin2\pi x\,dx=-\dfrac{1}{\pi}（和を閉じた形 an=−ncot⁡πna_{n}=-n\cot\dfrac{\pi}{n} にしても確かめられる）。

解答

(1) 区分求積法より
lim⁡n→∞1n∑k=1nkncos⁡(π2(kn)2)=∫01xcos⁡πx22 dx=[1πsin⁡πx22]01=1π. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2}\right)=\int_{0}^{1}x\cos\dfrac{\pi x^{2}}{2}\,dx=\left[\dfrac{1}{\pi}\sin\dfrac{\pi x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{\pi}.

(2) ann2=1n∑k=1n2⋅knsin⁡(2π⋅kn)\dfrac{a_{n}}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2\cdot\dfrac{k}{n}\sin\left(2\pi\cdot\dfrac{k}{n}\right) なので、区分求積法より
lim⁡n→∞ann2=2∫01xsin⁡2πx dx=2{[−xcos⁡2πx2π]01+∫01cos⁡2πx2πdx}=2⋅(−12π)=−1π. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{2}}=2\int_{0}^{1}x\sin2\pi x\,dx=2\left\{\left[-\dfrac{x\cos2\pi x}{2\pi}\right]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\dfrac{\cos2\pi x}{2\pi}dx\right\}=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2\pi}\right)=-\dfrac{1}{\pi}.
よって p=2p=2 のとき −1π-\dfrac{1}{\pi}。p≧3p\geqq3 のときは annp=ann2⋅1np−2→0\dfrac{a_{n}}{n^{p}}=\dfrac{a_{n}}{n^{2}}\cdot\dfrac{1}{n^{p-2}}\to0。
（実際、θ=2πn\theta=\dfrac{2\pi}{n} として ∑k=1nksin⁡kθ=−n2cot⁡θ2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\sin k\theta=-\dfrac{n}{2}\cot\dfrac{\theta}{2} が成り立ち、an=−ncot⁡πna_{n}=-n\cot\dfrac{\pi}{n}。）

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 区分求積法
  • 部分積分

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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