1佐賀大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 点 $D$ の座標を $(x,y,z)$ とする。$OD=AD=2$ より
$$x^2+y^2+z^2=(x-2)^2+y^2+z^2$$
となるので、$x=1$ である。同様に $OD=CD=2$ から $y=1$ を得る。さらに $OD=2$ より
$$1+1+z^2=4,$$
したがって $z^2=2$ である。$z$ の正負を指定すると、$D_1=(1,1,\sqrt2)$、$D_2=(1,1,-\sqrt2)$ となる。

(2) 各ベクトルを成分で表すと
$$\overrightarrow{OA}=(2,0,0),\quad \overrightarrow{OD_1}=(1,1,\sqrt2),\quad \overrightarrow{OP}=(1,1,0)$$
である。条件のベクトルを $\vec{w}$ とすると
$$\vec{w}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OD_1}-\overrightarrow{OP}=(2a+b-1,\ b-1,\ \sqrt2 b).$$
これが $\overrightarrow{OA}$ に垂直であることから
$$\vec{w}\cdot\overrightarrow{OA}=2(2a+b-1)=0,$$
すなわち $2a+b=1$ である。また、$\overrightarrow{OD_1}$ に垂直であることから
$$\vec{w}\cdot\overrightarrow{OD_1}=(2a+b-1)+(b-1)+2b=0,$$
すなわち $a+2b=1$ である。この連立方程式を解いて $a=b=\frac13$ を得る。この値を代入すると $\vec{w}=(0,-\frac23,\frac{\sqrt2}{3})$ となり、実際に両ベクトルとの内積は $0$ である。

(3) 正方形 $OABC$ の各辺の長さは $2$ であり、$D_1,D_2$ と各頂点 $O,A,B,C$ との距離も、距離の二乗が $1+1+2=4$ となるので $2$ である。よって $V$ は辺の長さ $2$ の正八面体で、その中心は $T=(1,1,0)$ である。

面 $OAD_1$ の重心を $G$ とすると
$$G=\frac{O+A+D_1}{3}=\left(1,\frac13,\frac{\sqrt2}{3}\right).$$
ここで $\overrightarrow{TG}=(0,-\frac23,\frac{\sqrt2}{3})$ は $\overrightarrow{OA}$ に垂直であり、また
$$\overrightarrow{TG}\cdot\overrightarrow{OD_1}=-\frac23+\frac{2}{3}=0$$
である。$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OD_1}$ はこの面内で平行でないから、$TG$ は面 $OAD_1$ に垂直であり、$G$ は垂線の足である。したがって
$$r=TG=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt6}{3}.$$
正八面体の対称性により、中心 $T$ から他の面までの距離も同じなので、この半径の球はすべての面に接する。

各面は正三角形なので、球と各面との接点はその面の重心である。$T$ を原点とする座標を $(X,Y,Z)=(x-1,y-1,z)$ とすると、8個の接点の座標は
$$\left(0,\pm\frac23,\pm\frac{\sqrt2}{3}\right),\qquad \left(\pm\frac23,0,\pm\frac{\sqrt2}{3}\right)$$
である。水平面を回転した座標 $u=\frac{X+Y}{\sqrt2}$、$v=\frac{Y-X}{\sqrt2}$、$w=Z$ で表すと、これらは
$$\left(\pm\frac{\sqrt2}{3},\pm\frac{\sqrt2}{3},\pm\frac{\sqrt2}{3}\right)$$
の8点、すなわち3成分の符号がそれぞれ独立に定まる点となる。これらを頂点とする凸多面体は立方体であり、その1辺の長さは座標の1成分だけが異なる頂点間の距離だから $2\cdot\frac{\sqrt2}{3}=\frac{2\sqrt2}{3}$ である。