大阪医科薬科大学 2025年数学第3問解答・解説

1問題

大阪医科薬科大学2025年度第3問

座標平面上に曲線

C:\ y=\sqrt{x^{2}-4}\ (x\geqq2)

がある。点

(1,\,0)

を通る

C

の接線を

l

とし、次の問いに答えよ。

(1) 直線

l

の方程式を求めよ。また、

l

と曲線

C

の接点の座標を求めよ。

(2)

t

を0以上の実数とする。曲線

C

と直線

x=e^{t}+e^{-t}

の共有点の

y

座標を

t

を用いて表せ。

(3) 直線

l

、曲線

C

および

x

軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。

出典：大阪医科薬科大学 2025年度後期数学第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$l:\ y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ 、接点 $(4,\,2\sqrt{3})$
(2)
$y=e^{t}-e^{-t}$
(3)
$2\log(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(2) の置き換え

x=e^{t}+e^{-t}

を使うと

\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\int(e^{t}-e^{-t})^{2}dt

で計算できる。面積は三角形から曲線の下の面積を引く。

解答

(1) 接点を

(p,\,q)

（

q=\sqrt{p^{2}-4}

）とすると、接線の傾きは

\dfrac{p}{q}

。

(1,\,0)

を通るので

-q=\dfrac{p}{q}(1-p)

、すなわち

-(p^{2}-4)=p-p^{2}

、

p=4

、

q=2\sqrt{3}

。

l:\ y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x-1)

、接点

(4,\,2\sqrt{3})

。

(2)

x^{2}-4=(e^{t}-e^{-t})^{2}

、

t\geqq0

で

e^{t}-e^{-t}\geqq0

なので

y=e^{t}-e^{-t}

。

(3) 求める部分は、

l

、

x

軸、

x=4

で囲まれる三角形（面積

\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot2\sqrt{3}=3\sqrt{3}

）から、

C

の下の

2\leqq x\leqq4

の部分を除いたもの。(2) の置換で、

x=2

は

t=0

、

x=4

は

e^{t}=2+\sqrt{3}

に対応し、

\displaystyle\int_{2}^{4}\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\int(e^{t}-e^{-t})^{2}dt=\left[\dfrac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}-2t\right]=\dfrac{(7+4\sqrt{3})-(7-4\sqrt{3})}{2}-2\log(2+\sqrt{3})=4\sqrt{3}-2\log(2+\sqrt{3}).

よって面積は

3\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2\log(2+\sqrt{3})=2\log(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

接線の条件
置換積分

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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