4大阪医科薬科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

全部で $10^{3}$ 通り。(2) は最大と最小の差が0, 1, 2の場合に分ける。(3) は「$X\geqq8$」の余事象が「すべて7以下」、「$Y\leqq2$」の余事象が「すべて3以上」であることを使い、包除原理で数える。

全部で $1000$ 通りで同様に確からしい。

(1) $X=Y$（3回とも同じ）は10通りなので $1-\dfrac{10}{1000}=\dfrac{99}{100}$。

(2) 差が0：10通り。差が1：2つの値 $\{k,\,k+1\}$（9組）を両方使う並べ方 $2^{3}-2=6$ 通りで54通り。差が2：最小 $k$、最大 $k+2$（8組）で、3つの値の中から両端を必ず使う並べ方 $3^{3}-2\cdot2^{3}+1=12$ 通りで96通り。計160通りで $\dfrac{160}{1000}=\dfrac{4}{25}$。

(3) $X\geqq8$ は $1000-7^{3}=657$ 通り。$X\geqq8$ かつ $Y\leqq2$ は、包除原理で $1000-7^{3}-8^{3}+5^{3}=270$ 通り（$8^{3}$：すべて3以上、$5^{3}$：すべて3〜7）。条件付き確率は $\dfrac{270}{657}=\dfrac{30}{73}$。