4熊本大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$g(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とおくと、条件は対数をとって $g(a)>g(b)>g(n)$ と同じになる。$g$ は $x\geqq 3$ で減少し、$g(2)=g(4)$ となることを使って $a$ の値で場合を分けて数える。

(問 1)

$x>0$ で
$$y'=\dfrac{1-\log x}{x^{2}}.$$
$0<x<e$ で $y'>0$、$x>e$ で $y'<0$ だから、$x=e$ で極大値 $\dfrac{1}{e}$ をとる。極小値はない。

(問 2)

$g(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とおく。$a,\,b,\,n$ は正だから、両辺の自然対数をとって $nab$ で割ると
$$a^{nb}>b^{na}\iff nb\log a>na\log b\iff g(a)>g(b),$$
$$b^{na}>n^{ab}\iff na\log b>ab\log n\iff g(b)>g(n).$$
よって、条件は $a<b<n$ かつ $g(a)>g(b)>g(n)$ と同じである。

(問 1) と $e<3$ より、$g(x)$ は $x\geqq 3$ で減少する。また
$$g(1)=0<g(2),\qquad g(4)=\dfrac{2\log 2}{4}=g(2),\qquad g(3)-g(2)=\dfrac{2\log 3-3\log 2}{6}=\dfrac{\log 9-\log 8}{6}>0.$$

[1] $a=1$ のとき、$b\geqq 2$ で $g(b)>0=g(1)$ だから、条件を満たさない。

[2] $a=2$ のとき、$g(2)>g(b)$ となる $b\ (b\geqq 3)$ は $b\geqq 5$ のときである（$b=3$ では $g(3)>g(2)$、$b=4$ では $g(4)=g(2)$、$b\geqq 5$ では $g(b)<g(4)=g(2)$）。このとき $3\leqq b<n$ だから $g(b)>g(n)$ も成り立つ。よって $5\leqq b\leqq n-1$ で、組は $n\geqq 5$ のとき $n-5$ 個、$n=3,\,4$ のとき 0 個。

[3] $a\geqq 3$ のとき、$3\leqq a<b<n$ ならば $g(a)>g(b)>g(n)$ が成り立つ。よって組は $3\leqq a<b\leqq n-1$ を満たすものすべてで、${}_{n-3}\mathrm{C}_{2}$ 個（$n=3,\,4$ のとき 0 個）。

以上より、$n=3,\,4$ のとき $s_{n}=0$、$n\geqq 5$ のとき
$$s_{n}={}_{n-3}\mathrm{C}_{2}+(n-5)=\dfrac{(n-3)(n-4)}{2}+n-5=\dfrac{n^{2}-5n+2}{2}.$$

(問 3)

$k\geqq 5$ のとき
$$s_{k}+\dfrac{5}{2}k-1=\dfrac{k^{2}-5k+2}{2}+\dfrac{5}{2}k-1=\dfrac{k^{2}}{2}$$
だから、$n\geqq 5$ のとき
$$\dfrac{1}{n^{5}}\sum_{k=5}^{n}k^{2}\left(s_{k}+\dfrac{5}{2}k-1\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n}\sum_{k=5}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^{4}.$$
$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{4}\left(\dfrac{k}{n}\right)^{4}\to 0$ だから、区分求積法により
$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n}\sum_{k=5}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^{4}=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{4}\,dx=\dfrac{1}{10}.$$