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大阪医科薬科大学／2025年度／後期

2大阪医科薬科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面

難易度必答 レベル 3/10 目安 15分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

大阪医科薬科大学2025年度第2問
複素数 z=cos⁡27π+isin⁡27πz=\cos\dfrac{2}{7}\pi+i\sin\dfrac{2}{7}\pi について、次の問いに答えよ。ただし、ii は虚数単位である。

(1) z567+1z567z^{567}+\dfrac{1}{z^{567}} の値を求めよ。

(2) (z+z2+z4)(z3+z5+z6)(z+z^{2}+z^{4})(z^{3}+z^{5}+z^{6}) の値を求めよ。

(3) z+z2+z3z+z^{2}+z^{3} の実部の値を求めよ。

出典：大阪医科薬科大学 2025年度 後期 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    22
  • (2)
    22
  • (3)
    −12-\dfrac{1}{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

z7=1z^{7}=1、1+z+z2+⋯+z6=01+z+z^{2}+\cdots+z^{6}=0 を使う。(3) は zkz^{k} と z7−kz^{7-k} が共役で実部が等しいこと。

解答

z7=1z^{7}=1、z≠1z\neq1 より 1+z+⋯+z6=01+z+\cdots+z^{6}=0。

(1) 567=7⋅81567=7\cdot81 より z567=1z^{567}=1。値は 1+1=21+1=2。

(2) 展開して z7=1z^{7}=1 を使うと
z4+z6+z7+z5+z7+z8+z7+z9+z10=3+(z+z2+z3+z4+z5+z6)=3−1=2. z^{4}+z^{6}+z^{7}+z^{5}+z^{7}+z^{8}+z^{7}+z^{9}+z^{10}=3+(z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6})=3-1=2 .

(3) z7−k=zk‾z^{7-k}=\overline{z^{k}} なので zkz^{k} と z7−kz^{7-k} の実部は等しい。z+⋯+z6=−1z+\cdots+z^{6}=-1 の実部を比べて 2 Re(z+z2+z3)=−12\,\mathrm{Re}(z+z^{2}+z^{3})=-1、よって実部は −12-\dfrac{1}{2}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 1の7乗根の性質
  • 共役複素数

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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