兵庫医科大学 2024年数学第3問解答・解説

1問題

兵庫医科大学2024年度第3問

t>1

とする。関数

f(x)=x\log t-t\log x

について、以下の問いに答えよ。なお、途中の式や考え方等も記入すること。

(1) 関数

f(x)

の増減を調べよ。

(2) 関数

f(x)

の最小値が0以下であることを示せ。

(3)

e^{\sqrt{5}}

と

\sqrt{5}^{\,e}

の大小関係を調べよ。

(4) 関数

F(t)=\displaystyle\int_{1}^{t}f(x)\,dx

について、

F'(e)

を求めよ。

出典：兵庫医科大学 2024年度一般数学第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$0<x\leqq\dfrac{t}{\log t}$ で減少、 $x\geqq\dfrac{t}{\log t}$ で増加
(2)
（証明） $f(t)=0$ なので最小値は0以下
(3)
$e^{\sqrt{5}}>\sqrt{5}^{\,e}$
(4)
$F'(e)=\dfrac{e}{2}-1-\dfrac{1}{2e}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

f'(x)=\log t-\dfrac{t}{x}

。(2) は

f(t)=0

を見つければすぐ。(3) は

t=e

とすると

f(x)=x-e\log x\geqq0

で等号は

x=e

だけ。(4) は

t

が被積分関数にも入っているので、積分を計算してから微分する。

解答

定義域は

x>0

。

(1)

f'(x)=\log t-\dfrac{t}{x}

（

\log t>0

）。

x=\dfrac{t}{\log t}

で0になり、その左で負、右で正。よって

0<x\leqq\dfrac{t}{\log t}

で減少、

x\geqq\dfrac{t}{\log t}

で増加。

(2)

f(t)=t\log t-t\log t=0

なので、最小値は

0

以下。

(3)

t=e

とすると

f(x)=x-e\log x

で、(1) より

x=e

で最小値

f(e)=0

、

x\neq e

では

f(x)>0

。

\sqrt{5}\neq e

より

\sqrt{5}-e\log\sqrt{5}>0

、すなわち

\log e^{\sqrt{5}}>\log\sqrt{5}^{\,e}

。よって

e^{\sqrt{5}}>\sqrt{5}^{\,e}

。

(4)

\displaystyle\int_{1}^{t}\log x\,dx=t\log t-t+1

より

F(t)=\dfrac{t^{2}-1}{2}\log t-t(t\log t-t+1).

\dfrac{d}{dt}\{t(t\log t-t+1)\}=2t\log t-t+1

に注意して微分すると

F'(t)=t\log t+\dfrac{t^{2}-1}{2t}-(2t\log t-t+1)=-t\log t+\dfrac{3t}{2}-\dfrac{1}{2t}-1 .

よって

F'(e)=-e+\dfrac{3e}{2}-\dfrac{1}{2e}-1=\dfrac{e}{2}-1-\dfrac{1}{2e}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

増減表
関数を使った大小比較
定積分で表された関数の微分

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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