1大阪医科薬科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

関数 $f(x)$ を $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{9}{x}\right)$ と定め、$y=f(x)$ のグラフを曲線 $C$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの漸近線を調べ、曲線 $C$ の概形をかけ。

(2) 曲線 $C$ 上の点 $\mathrm{A}_{1},\,\mathrm{A}_{2},\,\cdots,\,\mathrm{A}_{n},\,\cdots$ および直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ 上の点 $\mathrm{B}_{1},\,\mathrm{B}_{2},\,\cdots,\,\mathrm{B}_{n},\,\cdots$ を次のように定める。$\mathrm{A}_{1}(1,\,f(1))$ とする。$n=1,\,2,\,3,\,\cdots$ に対して、点 $\mathrm{A}_{n}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ との交点を $\mathrm{B}_{n}$、点 $\mathrm{B}_{n}$ から曲線 $C$ に接線を引いて接点を $\mathrm{A}_{n+1}$ とする。

(i) $\mathrm{A}_{n}(a_{n},\,f(a_{n}))\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ とするとき、$a_{n+1}$ を $a_{n}$ で表せ。また、数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(ii) $b_{n}=(\log_{2}a_{2n})\cdot(\log_{2}a_{2n+2})$ とするとき、無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{b_{n}}$ の和を求めよ。