3琉球大学 2026年 数学 第3問解答・解説

問1では、$\alpha=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}$ とおく。ド・モアブルの定理より $\alpha^5=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$ である。また $0<\frac{2\pi}{5}<\pi$ より $\sin\frac{2\pi}{5}>0$ なので $\alpha\ne1$。したがって
$$(\alpha-1)(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4)=\alpha^5-1=0$$
から、$1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$。

問2では $\theta=\frac{2\pi}{5}$、$c=\cos\theta$ とおく。ド・モアブルの定理より $\alpha^k=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)$ である。問1の等式の実部をとると
$$1+2\cos\theta+2\cos2\theta=0.$$
二倍角の公式 $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ を用いて整理すると
$$4c^2+2c-1=0,$$
したがって $c=\frac{-1\pm\sqrt5}{4}$。ここで $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ なので $c>0$ であり、$\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}$。

問3では分子内の複素数を $S(t)$ とおく。$\alpha$ は非実数であるから、実数 $t$ に対して $t-\alpha\ne0$。差の5乗の因数分解を用いると
$$\begin{aligned} S(t)&=t^4+t^3\alpha+t^2\alpha^2+t\alpha^3+\alpha^4\\ &=\frac{t^5-\alpha^5}{t-\alpha} =\frac{t^5-1}{t-\alpha}. \end{aligned}$$$$S(t)=t^4+t^3\alpha +t^2{\alpha }^2+t{\alpha }^3+{\alpha }^4$$$$=\frac{t^5-{\alpha }^5}{t-\alpha }=\frac{t^5-1}{t-\alpha }.$$
$t\ne1$ のとき $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$ だから
$$\frac{|S(t)|^2}{(t-1)^2} =\frac{(t^4+t^3+t^2+t+1)^2}{|t-\alpha|^2}.$$
右辺の分母は $t\to1$ で $|1-\alpha|^2\ne0$ となるので、連続性により極限は $\frac{25}{|1-\alpha|^2}$。さらに $\theta=\frac{2\pi}{5}$ とおけば
$$|1-\alpha|^2=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2(1-\cos\theta)=\frac{5-\sqrt5}{2}.$$
よって求める極限値は
$$\frac{25}{(5-\sqrt5)/2}=\frac{25+5\sqrt5}{2}.$$