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兵庫医科大学／2025年度／一般

3兵庫医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面図形の性質

難易度勝負 レベル 5/10 目安 20分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

兵庫医科大学2025年度第3問
複素数平面において、原点 O(0)\mathrm{O}(0) と A(α)\mathrm{A}(\alpha)、B(β)\mathrm{B}(\beta) は相異なる点であるとする。また、複素数 zz と共役な複素数を z‾\overline{z} で表すとき、以下の問いに答えよ。なお、途中の式や考え方等も記入すること。

(1) 3点O, A, Bが同一直線上にあるための条件を α\alpha と β\beta および α‾\overline{\alpha} と β‾\overline{\beta} を用いて表せ。

(2) 3点O, A, Bが同一直線上にないとき、△OAB\triangle\mathrm{OAB} の外心Cを表す複素数 γ\gamma を α\alpha と β\beta および α‾\overline{\alpha} と β‾\overline{\beta} を用いて表せ。

(3) α=1\alpha=1、β=3+3i\beta=\sqrt{3}+3i であるとする。このとき、

(a) 半直線CAから半直線CBまでの回転角 θ\theta を求めよ。ただし、−π<θ≦π-\pi<\theta\leqq\pi とする。

(b) さらに、ω=22(1+i)\omega=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)、zn=(α−γ)ωn+γz_{n}=(\alpha-\gamma)\omega^{n}+\gamma とする。整数 nn が動くとき、znz_{n} が β\beta に最も近い nn を求めよ。

出典：兵庫医科大学 2025年度 一般 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    α‾β=αβ‾\overline{\alpha}\beta=\alpha\overline{\beta}
  • (2)
    γ=αβ(α‾−β‾)α‾β−αβ‾\gamma=\dfrac{\alpha\beta(\overline{\alpha}-\overline{\beta})}{\overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta}}
  • (3)(a)
    θ=2π3\theta=\dfrac{2\pi}{3}
  • (3)(b)
    n=8k+3n=8k+3（kk は整数）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は βα\dfrac{\beta}{\alpha} が実数。(2) は ∣γ∣=∣γ−α∣=∣γ−β∣|\gamma|=|\gamma-\alpha|=|\gamma-\beta| を展開して γ, γ‾\gamma,\,\overline{\gamma} の連立1次方程式にする。(3)(a) は円周角 ∠AOB=π3\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{3} の2倍。(b) の znz_{n} はAをCのまわりに nπ4\dfrac{n\pi}{4} 回転した点。

解答

(1) O, A, Bが同一直線上   ⟺  βα\iff\dfrac{\beta}{\alpha} が実数   ⟺  βα=β‾α‾  ⟺  α‾β=αβ‾\iff\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\overline{\beta}}{\overline{\alpha}}\iff\overline{\alpha}\beta=\alpha\overline{\beta}。

(2) ∣γ∣2=∣γ−α∣2|\gamma|^{2}=|\gamma-\alpha|^{2} より α‾γ+αγ‾=αα‾\overline{\alpha}\gamma+\alpha\overline{\gamma}=\alpha\overline{\alpha}、同様に β‾γ+βγ‾=ββ‾\overline{\beta}\gamma+\beta\overline{\gamma}=\beta\overline{\beta}。1式目に β\beta、2式目に α\alpha を掛けて引くと
γ(α‾β−αβ‾)=αβ(α‾−β‾),γ=αβ(α‾−β‾)α‾β−αβ‾ \gamma(\overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta})=\alpha\beta(\overline{\alpha}-\overline{\beta}),\qquad \gamma=\dfrac{\alpha\beta(\overline{\alpha}-\overline{\beta})}{\overline{\alpha}\beta-\alpha\overline{\beta}}
（(1) より分母は0でない）。

(3)(a) β=3+3i=23(cos⁡π3+isin⁡π3)\beta=\sqrt{3}+3i=2\sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) なので、OAからOBへの回転角は π3\dfrac{\pi}{3}。円周角が π3<π2\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2} なので、Oは弧ABの大きい方の上にあり、中心角は同じ向きに 2π3\dfrac{2\pi}{3}。よって θ=2π3\theta=\dfrac{2\pi}{3}。
（(2) で計算すると γ=12+(2−36)i\gamma=\dfrac{1}{2}+\left(2-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)i で、β−γα−γ\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma} の偏角が 2π3\dfrac{2\pi}{3} になることも確かめられる。）

(b) ω=cos⁡π4+isin⁡π4\omega=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4} なので、znz_{n} はAをCのまわりに nπ4\dfrac{n\pi}{4} 回転した点で、円の上にある。Bは 2π3\dfrac{2\pi}{3} 回転した点なので、回転角の差が最も小さい nn を選ぶ。nπ4\dfrac{n\pi}{4} のうち 2π3\dfrac{2\pi}{3}（=120∘=120^{\circ}）に最も近いのは 135∘135^{\circ}（差 15∘15^{\circ}、次は 90∘90^{\circ} で差 30∘30^{\circ}）。よって n≡3(mod8)n\equiv3\pmod8、すなわち n=8k+3n=8k+3（kk は整数）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 共役複素数
  • 外心の条件
  • 回転

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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