3北里大学 2024年 数学 第3問解答・解説

玉の状態別の遷移確率から初期値と漸化式を作り、定数解を用いた等比数列と差分和で一般項を導く。

操作前、赤玉は箱Aに2個、箱Bに0個ある。(1) 1回目の操作で、Aから白玉を出す確率は $1/3$ で、その場合Aの赤玉は2個のままである。Aから赤玉を出す確率は $2/3$ で、その場合Aの赤玉は1個となる。したがって $p_1=1/3,\ q_1=2/3$ である。
2回目について、1回目終了時にAの赤玉が2個である場合は、次も2個である確率が $1/3$、1個となる確率が $2/3$ である。Aの赤玉が1個である場合、Aから白玉かつBから赤玉を出すと2個となるので確率は $(2/3)(1/3)=2/9$。Aから赤玉かつBから白玉を出すと0個となり、その確率は $(1/3)(2/3)=2/9$。同じ色どうしを入れ替える残りの場合は1個のままで、その確率は $4/9+1/9=5/9$ である。よって
$$p_2=\frac13p_1+\frac29q_1=\frac7{27},\qquad q_2=\frac23p_1+\frac59q_1=\frac{16}{27}.$$
赤玉の個数は必ずAで2個、1個、0個のいずれかなので、$p_n+q_n+r_n=1$、すなわち $r_n=1-p_n-q_n$ である。
(2) 状態ごとの遷移を考える。Aの赤玉が2個の状態から2個を保つ確率は $1/3$、1個の状態から2個になる確率は $2/9$ だから
$$p_{n+1}=\frac13p_n+\frac29q_n.$$
Aの赤玉が1個の状態から1個を保つ確率は $5/9$。2個または0個の状態から1個となる確率は、いずれも $2/3$ である。したがって
$$q_{n+1}=\frac23p_n+\frac59q_n+\frac23r_n =\frac23(1-q_n)+\frac59q_n =\frac23-\frac19q_n.$$
(3) $q_{n+1}=2/3-q_n/9$ の定数解は $3/5$ である。よって
$$q_{n+1}-\frac35=-\frac19\left(q_n-\frac35\right).$$
初項 $q_1=2/3$ から
$$q_n=\frac35+\left(\frac23-\frac35\right)\left(-\frac19\right)^{n-1} =\frac35+\frac1{15}\left(-\frac19\right)^{n-1}.$$
(4) $s_n=3^np_n$ とすると、(2)より
$$s_{n+1}=s_n+2\cdot3^{n-1}q_n =s_n+\frac65\,3^{n-1}+\frac2{15}\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$
また $s_1=3p_1=1$ であるから、等比数列の和を用いて
$$s_n=1+\frac35(3^{n-1}-1)+\frac1{10}\left(1-\left(-\frac13\right)^{n-1}\right) =\frac{3^n}{5}+\frac12-\frac1{10}\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$
最後に $p_n=s_n/3^n$ より
$$p_n=\frac15+\frac1{2\cdot3^n}+\frac{(-1)^n}{10\cdot3^{2n-1}}.$$