3北里大学 2023年 数学 第3問解答・解説

点列の位置ベクトルを内分公式で表し、差ベクトル $\vec{p}_{n}$ の二項おきの漸化式を導く。奇数番目と偶数番目をそれぞれ等比数列として和を計算し、$B_{0}$ から $B_{2n}$ の座標を得る。

点 $A_{n}$、$B_{n}$、$C_{n}$ の位置ベクトルを、それぞれ同じ記号で表す。各点は対応する線分を端点から $2:1$ に内分するので、$n\geqq0$ に対して
$$A_{n+1}=\dfrac{A_{n}+2B_{n}}{3},\qquad B_{n+1}=\dfrac{B_{n}+2C_{n}}{3},\qquad C_{n+1}=\dfrac{C_{n}+2A_{n}}{3}$$
である。

(1)

まず、$A_{0}=(0,0)$、$B_{0}=(2,0)$、$C_{0}=(1,\sqrt{3})$ より
$$B_{1}=\dfrac{B_{0}+2C_{0}}{3}=\left(\dfrac{4}{3},\,\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right),\qquad C_{1}=\dfrac{C_{0}+2A_{0}}{3}=\left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right).$$
したがって
$$\vec{p}_{1}=B_{1}-B_{0}=\left(-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right).$$
さらに
$$B_{2}=\dfrac{B_{1}+2C_{1}}{3}=\left(\dfrac{2}{3},\,\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\right)$$
だから
$$\vec{p}_{2}=B_{2}-B_{1}=\left(-\dfrac{2}{3},\,-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right).$$

(2)

点の漸化式から
$$\vec{p}_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}=\dfrac{2}{3}(C_{n}-B_{n})$$
である。よって
$$\vec{p}_{n+2}=\dfrac{2}{3}(C_{n+1}-B_{n+1}) =\dfrac{2}{9}(2A_{n}-B_{n}-C_{n}).$$
ここで点の漸化式を用いると
$$\begin{aligned} 2A_{n}-B_{n}-C_{n} &=\dfrac{2}{3}(A_{n-1}+2B_{n-1}) -\dfrac{1}{3}(B_{n-1}+2C_{n-1}) -\dfrac{1}{3}(C_{n-1}+2A_{n-1})\\ &=B_{n-1}-C_{n-1}. \end{aligned}$$$$2A_n-B_n-C_n=\frac{2}{3}(A_{n-1}+2B_{n-1})-\frac{1}{3}(B_{n-1}+2C_{n-1})-\frac{1}{3}(C_{n-1}+2A_{n-1})$$$$=B_{n-1}-C_{n-1}.$$
また、$\vec{p}_{n}=\dfrac{2}{3}(C_{n-1}-B_{n-1})$ なので
$$\vec{p}_{n+2}=\dfrac{2}{9}\left(-\dfrac{3}{2}\vec{p}_{n}\right)=-\dfrac{1}{3}\vec{p}_{n}.$$

(3)

この関係から、奇数番目のベクトルは
$$\vec{p}_{2k-1}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}\vec{p}_{1}$$
となる。したがって等比数列の和より
$$\sum_{k=1}^{n}\vec{p}_{2k-1} =\dfrac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\vec{p}_{1} =\dfrac{3}{4}\left(1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right)\vec{p}_{1}.$$

(4)

$B_{2n}=B_{0}+\displaystyle\sum_{j=1}^{2n}\vec{p}_{j}$ であり、偶数番目についても $\vec{p}_{2k}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}\vec{p}_{2}$ であるから
$$\begin{aligned} B_{2n} &=B_{0}+\sum_{k=1}^{n}\vec{p}_{2k-1}+\sum_{k=1}^{n}\vec{p}_{2k}\\ &=B_{0}+\dfrac{3}{4}\left(1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right)(\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}). \end{aligned}$$$$B_{2n}=B_0+\sum _{k=1}^n{\vec{p}}_{2k-1}+\sum _{k=1}^n{\vec{p}}_{2k}$$$$=B_0+\frac{3}{4}\left(1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right)({\vec{p}}_1+{\vec{p}}_2).$$
ここで
$$\dfrac{3}{4}(\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}) =\dfrac{3}{4}\left(-\dfrac{4}{3},\,\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\right) =\left(-1,\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
だから、求める座標は
$$\boxed{B_{2n}=\left(1+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n},\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right)\right)}.$$