II慶應義塾大学 2025年 数学 第II問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。ただし、空欄（か）、（そ）には $n$ の式を入れ、それ以外の空欄には数を入れなさい。

袋が1つ、赤玉3個、白玉3個が用意されている。赤玉が少なくとも1個袋に入った状態に対して、操作 $T$ の手順を以下のように定める。

操作 $T$：袋から玉を1個無作為に取り出し、それが赤玉であれば袋に戻し、白玉であれば袋に戻さない。

$n$ を自然数とする。

(1) 赤玉3個と白玉3個が袋に入った状態から始めて、操作 $T$ を $n$ 回施し終えたとき、袋の中に入っている白玉の個数が3個である確率を $a_n$、2個である確率を $b_n$、1個である確率を $c_n$ とする。このとき、次の関係式

$$\left\{\begin{array}{l} a_{n+1}=\boxed{\text{あ}}a_n\\ b_{n+1}=\boxed{\text{い}}a_n+\boxed{\text{う}}b_n\\ c_{n+1}=\boxed{\text{え}}b_n+\boxed{\text{お}}c_n \end{array}\right.$$

が成り立つ。これより、$a_n,b_n,c_n$ をそれぞれ $n$ の式で表すと

$$\begin{array}{l} a_n=\boxed{\text{か}}\\ b_n=\boxed{\text{き}}\left\{(\boxed{\text{く}})^n-(\boxed{\text{け}})^n\right\}\\ c_n=\boxed{\text{こ}}\left\{(\boxed{\text{さ}})^{n-1}+\boxed{\text{し}}(\boxed{\text{す}})^{n-1}+(\boxed{\text{せ}})^{n-1}\right\} \end{array}$$

である。ただし、$\boxed{\text{さ}}>\boxed{\text{せ}}$ とする。

(2) 赤玉が少なくとも1個袋に入った状態に対して、ゲーム $T$ のルールを以下のように定める。

ゲーム $T$：操作 $T$ を1回施し、その結果、白玉が3個袋に入っている場合に限り1点を得る。

赤玉3個と白玉3個が袋に入った状態から始めて、ゲーム $T$ を $n$ 回行い終えたとき、1回目から $n$ 回目までに得た点の合計を $X_n$ とし、$Y_n=2^{X_n}$ と定める。このとき、$Y_n$ の期待値は $\boxed{\text{そ}}$ であり、分散は $\boxed{\text{た}}2^{n-1}+\boxed{\text{ち}}n^2+\boxed{\text{つ}}n+\boxed{\text{て}}$ である。