3金沢医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

指定された置換 $b_n=2^n/a_n$ により漸化式を加法形へ変え、等比数列の和を使って $b_n$ を求めた後、$a_n$ を逆算した。

$a_n>0$ より $b_n=2^n/a_n$ は定義される。漸化式を用いると
$$\begin{aligned} b_{n+1} &=\frac{2^{n+1}}{a_{n+1}} =\frac{2^{n+1}(5^{n-1}a_n+2^{2n+1})}{4^{n+1}a_n}\\ &=\frac{5^{n-1}}{2^{n+1}}+\frac{2^n}{a_n} =b_n+\frac14\left(\frac52\right)^{n-1}. \end{aligned}$$$$b_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{2^{n+1}(5^{n-1}{a}_n+2^{2n+1})}{4^{n+1}{a}_n}$$$$=\frac{5^{n-1}}{2^{n+1}}+\frac{2^n}{a_n}=b_n+\frac{1}{4}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{n-1}.$$
また $b_1=2/a_1=1/10$ である。したがって等比数列の和を用いると
$$\begin{aligned} b_n&=\frac1{10}+\frac14\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac52\right)^{k-1}\\ &=\frac1{10}+\frac16\left\{\left(\frac52\right)^{n-1}-1\right\} =\frac1{15}\left\{\left(\frac52\right)^n-1\right\}. \end{aligned}$$$$b_n=\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\sum _{k=1}^{n-1}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{k-1}$$$$=\frac{1}{10}+\frac{1}{6}\left\{{\left(\frac{5}{2}\right)}^{n-1}-1\right\}=\frac{1}{15}\left\{{\left(\frac{5}{2}\right)}^n-1\right\}.$$
$n=1$ のときも和は空和であり、同じ式が成り立つ。よって箱に入る数は
$$\boxed{\text{ヨ}}=1,\quad \boxed{\text{ラ}}=1,\quad \boxed{\text{リ}}=0,\quad \boxed{\text{ル}}=1,\quad \boxed{\text{レ}}=4,\quad \boxed{\text{ロ}}=5,\quad \boxed{\text{ワ}}=2,$$
$$\boxed{\text{ヲ}}=1,\quad \boxed{\text{あ}}=1,\quad \boxed{\text{い}}=5,\quad \boxed{\text{う}}=5,\quad \boxed{\text{え}}=2,\quad \boxed{\text{お}}=1.$$
$b_n=2^n/a_n$ だから
$$a_n=\frac{2^n}{b_n} =\frac{15\cdot2^n}{(5/2)^n-1} =\frac{15\cdot4^n}{5^n-2^n}.$$
したがって $\boxed{\text{か}}=1,\ \boxed{\text{き}}=5,\ \boxed{\text{く}}=4,\ \boxed{\text{け}}=5,\ \boxed{\text{こ}}=2$。確認として $n=1$ を代入すると $a_1=15\cdot4/(5-2)=20$ となり、初項と一致する。また $b_n$ の式の隣接差は $\frac14(\frac52)^{n-1}$ で、導いた漸化式と一致する。